Pertanyaan

PQRS adalah segiempat dengan koordinat titik sudut P ( 8 , − 2 , 6 ) , Q ( 16 , 6 , − 2 ) , R ( 0 , 8 , 8 ) , dan S ( − 8 , 0 , 16 ) . a. Tentukan koordinat M, yaitu titik tengahdari PQ. b. Tentukan koordinat N yang membagi RM ⇀ dalam perbandingan 2 ÷ 1 . c. Tunjukkanlah Q, N, dan S segaris. Kemudian, tentukanlah perbandingan N membagi QS ⇀ .

PQRS adalah segiempat dengan koordinat titik sudut $P (8, - 2, 6)$ , $Q (16, 6, - 2)$ , $R (0, 8, 8)$ , dan $S (- 8, 0, 16)$ .

a. Tentukan koordinat M, yaitu titik tengah dari PQ.

b. Tentukan koordinat N yang membagi $RM ⇀$ dalam perbandingan $2 \div 1$ .

c. Tunjukkanlah Q, N, dan S segaris. Kemudian, tentukanlah perbandingan N membagi $QS ⇀$ . $\;$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Diketahuikoordinat titik sudut P ( 8 , − 2 , 6 ) , Q ( 16 , 6 , − 2 ) , R ( 0 , 8 , 8 ) , dan S ( − 8 , 0 , 16 ) . Dapat diperoleh vektor posisi masing-masing titik yaitu p = ⎝ ⎛ 8 − 2 6 ⎠ ⎞ , q = ⎝ ⎛ 16 6 − 2 ⎠ ⎞ , r = ⎝ ⎛ 0 8 8 ⎠ ⎞ dan s = ⎝ ⎛ − 8 0 16 ⎠ ⎞ Ingat kembali bahwa untuk titik Bterletak pada garis ACdengan a , b , dan c berturut-turut merupakan vektor posisi titik A, B, dan C, sedemikian sehingga A B ⇀ ÷ BC ⇀ = m ÷ n berlaku b = n + m n a + m c a. Akan ditentukan koordinat M, yaitu titik tengahdari PQ. Karena M merupakan titik tengah, berarti M membagi PQ sama besar. Dengan kata lain, PM ⇀ ÷ MQ ⇀ = 1 ÷ 1 . Namakan m sebagai vektor posisi titik M, makadiperoleh m = = = = = = = 1 + 1 1 p + 1 q 2 1 ( 8 − 2 6 ) + 1 ( 16 6 − 2 ) 2 ( 1 × 8 1 × ( − 2 ) 1 × 6 ) + ( 1 × 16 1 × 6 1 × ( − 2 ) ) 2 ( 8 − 2 6 ) + ( 16 6 − 2 ) 2 ( 8 + 16 − 2 + 6 6 + ( − 2 ) ) 2 ( 24 4 4 ) ⎝ ⎛ 12 2 2 ⎠ ⎞ Artinya diperoleh koordinat titik M yaitu ( 12 , 2 , 2 ) b. Akan ditentukan koordinat titik N. Diketahui bahwa titik N membagi RM ⇀ dalam perbandingan 2 ÷ 1 , berarti RN ⇀ ÷ NM ⇀ = 2 ÷ 1 . Namakan n sebagai vektor posisi titik N, maka diperoleh n = = = = = = = 1 + 2 1 r + 2 m 3 1 ( 0 8 8 ) + 2 ( 12 2 2 ) 3 ( 1 × 0 1 × 8 1 × 8 ) + ( 2 × 12 2 × 2 2 × 2 ) 3 ( 0 8 8 ) + ( 24 4 4 ) 3 ( 0 + 24 8 + 4 8 + 4 ) 3 ( 24 12 12 ) ⎝ ⎛ 8 4 4 ⎠ ⎞ Artinya diperoleh koordinat titik Nyaitu ( 8 , 4 , 4 ) Ingat bahwa tiga buah titik A, B, dan C dikatakan segaris apabila A B ⇀ = k BC ⇀ untuk suatu skalar k c. Akan ditunjukkan bahwaQ, N, dan S segaris. Perhatikan bahwa QN ⇀ NS ⇀ = = = = = = = = n − q ⎝ ⎛ 8 4 4 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 16 6 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 8 − 16 4 − 6 4 − ( − 2 ) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 8 − 2 6 ⎠ ⎞ s − n ⎝ ⎛ − 8 0 16 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 8 4 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 8 − 8 0 − 4 16 − 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 16 − 4 12 ⎠ ⎞ Selanjutnya dapat diperoleh QN ⇀ = = = = ⎝ ⎛ − 8 − 2 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 1 × ( − 16 ) 2 1 × ( − 4 ) 2 1 × 12 ⎠ ⎞ 2 1 ⎝ ⎛ − 16 − 4 12 ⎠ ⎞ 2 1 NS ⇀ Ternyata didapat QN ⇀ = k NS ⇀ untuk k = 2 1 . Berarti terbukti bahwaQ, N, dan S segaris. Selanjutnya akan ditentukanperbandingan N membagi QS ⇀ . Misalkan QN ⇀ ÷ NS ⇀ = g ÷ h , maka n ⎝ ⎛ 8 4 4 ⎠ ⎞ ( g + h ) ⎝ ⎛ 8 4 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 8 × ( g + h ) 4 × ( g + h ) 4 × ( g + h ) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 8 g + 8 h 4 g + 4 h 4 g + 4 h ⎠ ⎞ = = = = = g + h h q + g s g + h h ( 16 6 − 2 ) + g ( − 8 0 16 ) h ⎝ ⎛ 16 6 − 2 ⎠ ⎞ + g ⎝ ⎛ − 8 0 16 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 16 h 6 h − 2 h ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ − 8 g 0 16 g ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 16 h − 8 g 6 h + 0 − 2 h + 16 g ⎠ ⎞ Berdasarkan kesamaan dua buah vektor didapat 4 g + 4 h 4 g + 4 h 4 g 4 g h g h g = = = = = = 6 h + 0 6 h 6 h − 4 h 2 h 4 2 2 1 Artinya, QN ⇀ ÷ NS ⇀ = 1 ÷ 2 Dengan demikian diperoleh koordinat titik M ( 12 , 2 , 2 ) dankoordinat titik N ( 8 , 4 , 4 ) . Selain itu terbukti bahwaQ, N, dan S segaris danperbandingan N membagi QS ⇀ adalah 1 ÷ 2

Diketahui koordinat titik sudut $P (8, - 2, 6)$ , $Q (16, 6, - 2)$ , $R (0, 8, 8)$ , dan $S (- 8, 0, 16)$ . Dapat diperoleh vektor posisi masing-masing titik yaitu

$p = ⎝ ⎛ 8 - 2 6 ⎠ ⎞, q = ⎝ ⎛ 166 - 2 ⎠ ⎞, r = ⎝ ⎛ 088 ⎠ ⎞ dan s = ⎝ ⎛ - 8 016 ⎠ ⎞$

Ingat kembali bahwa untuk titik B terletak pada garis AC dengan $a$ , $b$ , dan $c$ berturut-turut merupakan vektor posisi titik A, B, dan C, sedemikian sehingga $A B ⇀ \div BC ⇀ = m \div n$ berlaku

$b = \frac{n a + m c}{n + m}$

a. Akan ditentukan koordinat M, yaitu titik tengah dari PQ. Karena M merupakan titik tengah, berarti M membagi PQ sama besar. Dengan kata lain, $PM ⇀ \div MQ ⇀ = 1 \div 1$ . Namakan $m$ sebagai vektor posisi titik M, maka diperoleh

$m = = = = = = = \frac{1 p + 1 q}{1 + 1} \frac{1 ( 8 - 2 6 ) + 1 ( 16 6 - 2 )}{2} \frac{( 1 \times 8 1 \times ( - 2 ) 1 \times 6 ) + ( 1 \times 16 1 \times 6 1 \times ( - 2 ) )}{2} \frac{( 8 - 2 6 ) + ( 16 6 - 2 )}{2} \frac{( 8 + 16 - 2 + 6 6 + ( - 2 ) )}{2} \frac{( 24 4 4 )}{2} ⎝ ⎛ 1222 ⎠ ⎞$

Artinya diperoleh koordinat titik M yaitu $(12, 2, 2)$

b. Akan ditentukan koordinat titik N. Diketahui bahwa titik N membagi $RM ⇀$ dalam perbandingan $2 \div 1$ , berarti $RN ⇀ \div NM ⇀ = 2 \div 1$ . Namakan $n$ sebagai vektor posisi titik N, maka diperoleh

$n = = = = = = = \frac{1 r + 2 m}{1 + 2} \frac{1 ( 0 8 8 ) + 2 ( 12 2 2 )}{3} \frac{( 1 \times 0 1 \times 8 1 \times 8 ) + ( 2 \times 12 2 \times 2 2 \times 2 )}{3} \frac{( 0 8 8 ) + ( 24 4 4 )}{3} \frac{( 0 + 24 8 + 4 8 + 4 )}{3} \frac{( 24 12 12 )}{3} ⎝ ⎛ 844 ⎠ ⎞$

Artinya diperoleh koordinat titik N yaitu $(8, 4, 4)$

Ingat bahwa tiga buah titik A, B, dan C dikatakan segaris apabila $A B ⇀ = k BC ⇀$ untuk suatu skalar $k$

c. Akan ditunjukkan bahwa Q, N, dan S segaris. Perhatikan bahwa

$QN ⇀ NS ⇀ = = = = = = = = n - q ⎝ ⎛ 844 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 166 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 8 - 16 4 - 6 4 - (- 2) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 8 - 2 6 ⎠ ⎞ s - n ⎝ ⎛ - 8 016 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 844 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 8 - 8 0 - 4 16 - 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 16 - 4 12 ⎠ ⎞$

Selanjutnya dapat diperoleh

$QN ⇀ = = = = ⎝ ⎛ - 8 - 2 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ \frac{1}{2} \times (- 16) \frac{1}{2} \times (- 4) \frac{1}{2} \times 12 ⎠ ⎞ \frac{1}{2} ⎝ ⎛ - 16 - 4 12 ⎠ ⎞ \frac{1}{2} NS ⇀$

Ternyata didapat $QN ⇀ = k NS ⇀$ untuk $k = \frac{1}{2}$ . Berarti terbukti bahwa Q, N, dan S segaris. Selanjutnya akan ditentukan perbandingan N membagi $QS ⇀$ . Misalkan $QN ⇀ \div NS ⇀ = g \div h$ , maka

$n ⎝ ⎛ 844 ⎠ ⎞ (g + h) ⎝ ⎛ 844 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 8 \times (g + h) 4 \times (g + h) 4 \times (g + h) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 8 g + 8 h 4 g + 4 h 4 g + 4 h ⎠ ⎞ = = = = = \frac{h q + g s}{g + h} \frac{h ( 16 6 - 2 ) + g ( - 8 0 16 )}{g + h} h ⎝ ⎛ 166 - 2 ⎠ ⎞ + g ⎝ ⎛ - 8 016 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 16 h 6 h - 2 h ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ - 8 g 0 16 g ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 16 h - 8 g 6 h + 0 - 2 h + 16 g ⎠ ⎞$

Berdasarkan kesamaan dua buah vektor didapat

$4 g + 4 h 4 g + 4 h 4 g 4 g \frac{g}{h} \frac{g}{h} = = = = = = 6 h + 0 6 h 6 h - 4 h 2 h \frac{2}{4} \frac{1}{2}$

Artinya, $QN ⇀ \div NS ⇀ = 1 \div 2$

Dengan demikian diperoleh koordinat titik $M (12, 2, 2)$ dan koordinat titik $N (8, 4, 4)$ . Selain itu terbukti bahwa Q, N, dan S segaris dan perbandingan N membagi $QS ⇀$ adalah $1 \div 2$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.7 (4 rating)

Pertanyaan serupa

Suatu alarm tanda bahaya yang berupa inframerah harus melewati tiga titik segaris dalam suatu ruang agar alarm dapat bekerja dengan tepat. Jika ketiga titik ini dapat ditampilkan pada koordinat-koordi...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan vektor-vektor a = x i − 3 j + 6 k dan vektor b = ( 1 − y ) i + 3 j − ( 1 + x ) k . Jika a dan b sejajar maka a + 3 b = ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan vektor-vektor a = 2 x i − 2 y j + y k dan vektor b = − 3 i + y j - k . Jika a dan b sejajar maka a + 2 b sama dengan ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Vektor-vektor posisi titik A dan B masing-masing relatif terhadap titik asal O adalah a dan b . Titik B sedemikian sehingga OP ⇀ = 4 OB ⇀ . Titik tengah AB ⇀ adalah Q. Titik R sedemikian sehingga OR ⇀...

2.0

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi