Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12 cm. Titik-titik tengah sisi-sisinya merupakan titik-titik sudut segitiga ke-2. Titik-titik tengah segitiga ke-2 merupakan titik-titik sudut segitiga ke-3 dan seterusnya. Tentukan jumlah luas seluruh segitiga-segitiga yang terbentuk.

Pertanyaan

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi $12\;\mathrm{cm}$ . Titik-titik tengah sisi-sisinya merupakan titik-titik sudut segitiga ke-2. Titik-titik tengah segitiga ke-2 merupakan titik-titik sudut segitiga ke-3 dan seterusnya. Tentukan jumlah luas seluruh segitiga-segitiga yang terbentuk.

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jumlah luas seluruh segitiga-segitiga yang terbentuk adalah $48\sqrt3$ .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $\mathbf{48}\sqrt{\mathbf3}$ .

Ilustrasi gambar untuk soal di atas adalah sebagai berikut.

Dari gambar di atas diperoleh :

$\begin{array}{l}\mathrm{Panjang}\;{\mathrm{sisi}}_1=12\;\mathrm{cm}\\\mathrm{Panjang}\;{\mathrm{sisi}}_2=6\;\mathrm{cm}\\\mathrm{Panjang}\;{\mathrm{sisi}}_3=3\;\mathrm{cm}\\\vdots\end{array}$

Ingat rumus menghitung luas segitiga jika diketahui 2 sisi dan satu sudut yang diapitnya yaitu :

${\text{L}}_\bigtriangleup=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin\;\theta$

Diperoleh :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text L end text subscript triangle 1 end subscript end cell equals cell 1 half times 12 times 12 times sin space 60 degree end cell row blank equals cell 1 half times 12 times 12 times 1 half square root of 3 end cell row blank equals cell fraction numerator scriptbase up diagonal strike 12 end scriptbase presuperscript 3 times 12 times square root of 3 over denominator up diagonal strike 4 end fraction end cell row blank equals cell 36 square root of 3 end cell row cell text L end text subscript triangle 2 end subscript end cell equals cell 1 half times 6 times 6 times sin space 60 degree end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator up diagonal strike 2 end fraction times scriptbase up diagonal strike 6 end scriptbase presuperscript 3 times scriptbase up diagonal strike 6 end scriptbase presuperscript 3 times fraction numerator 1 over denominator up diagonal strike 2 end fraction square root of 3 end cell row blank equals cell 9 square root of 3 end cell row cell text L end text subscript triangle 3 end subscript end cell equals cell 1 half times 3 times 3 times sin space 60 degree end cell row blank equals cell 1 half times 3 times 3 times 1 half square root of 3 end cell row blank equals cell 9 over 4 square root of 3 end cell row blank blank vertical ellipsis end table$

Jumlah luas segitiga-segitiga yang terbentuk yaitu :

${\text{L}}_{\bigtriangleup1}+{\text{L}}_{\bigtriangleup1}+{\text{L}}_{\bigtriangleup1}+\dots=36\sqrt3+9\sqrt3+\frac94\sqrt3+\dots$

Jika diperhatikan bentuk di atas merupakan deret geometri dengan $a=36\sqrt3$ dan rasionya yaitu :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row r equals cell U subscript 2 over U subscript 1 end cell row blank equals cell fraction numerator 9 square root of 3 over denominator 36 square root of 3 end fraction end cell row blank equals cell 1 fourth end cell end table$

Luas seluruh segitiga yang terbentuk dapat dihitung dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga yaitu :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell S subscript infinity end cell equals cell fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 36 square root of 3 over denominator 1 minus begin display style 1 fourth end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 36 square root of 3 over denominator begin display style fraction numerator 4 minus 1 over denominator 4 end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 36 square root of 3 over denominator begin display style 3 over 4 end style end fraction end cell row blank equals cell scriptbase up diagonal strike 36 end scriptbase presuperscript 12 square root of 3 cross times fraction numerator 4 over denominator up diagonal strike 3 end fraction end cell row blank equals cell 48 square root of 3 end cell end table$

Dengan demikian, jumlah luas seluruh segitiga-segitiga yang terbentuk adalah $48\sqrt3$ .

303

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan gambar berikut! Diberikan lingkaran L1 dengan jari-jari 10 cm. Di dalam L1, dibuat persegi P1 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L1. Di dalam P1, dibuat lingka...

206

5.0

Jawaban terverifikasi

Pada segitiga sama sisi ABC yang diketahui sisi-sisinya , digambarkan titik-titik A′, B′, dan C′ berturut-turut dengan titik tengah sisi BC, CA, dan AB sehingga menghasilkan segitiga A′B′C′. Prose...

328

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika (k+6), (k−2), dan (k−6) berturut-turut adalah suku pertama, kedua, dan ketiga suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah ...

495

3.5

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai dari x→∞lim(45+85+165+325+… +3mu).

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui deret geometri dengan suku kedua adalah120dan suku keempat adalah30. Tentukan: a. Jumlah untuk banyak suku tak hingga

221

5.0

Jawaban terverifikasi