Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut. Di dalam segititga sama sisi yang panjang sisinya 2 3 diisi lingkaran-lingkaran yang jumlahnya sampai takhingga. Luas lingkaran seluruhnya = ….

Perhatikan gambar berikut. Di dalam segititga sama sisi yang panjang sisinya $23$ diisi lingkaran-lingkaran yang jumlahnya sampai takhingga.

Luas lingkaran seluruhnya $=$ ….

$1 \frac{1}{8} π$
$1 \frac{1}{4} π$
$1 \frac{3}{8} π$
$1 \frac{1}{2} π$
$1 \frac{5}{8} π$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi berikut: Misalkan segitiga sama sisi ABC seperti pada gambar. Dengan pusat dari masing masing lingkaran berada pada garis lurus dari pusat lingkaran terbesar yaitu titik O . Pada soal ini hanya perlu memperhatikan pola dari satu sisi segitiga karena sisi lainnya akan memeliki sifat yang sama. Pertama, tentukan luas dari lingkaran yang paling besar dengan pusat O . Ingat rumus jari-jari lingkaran dalam lingkaran sama sisi : r = 2 1 K △ ABC L △ ABC L △ ABC : luas segitiga ABC 2 1 K △ ABC : keliling segtiga ABC Hitung terlebih dahulu luas dan keliling segitiga ABC Diketahui: panjang sisi dari segitiga adalah 2 3 , hal ini berarti K △ ABC = = = 3 ⋅ sisi 3 ⋅ 2 3 6 3 Untuk menentukan luas segitiga perlu ditentukan tinggi dari segitia. Tinggi segitiga dapat dicari dengan rumus Pythagoras: A B 2 = A Q 2 + Q B 2 Dengan panjang A B = sisi segitiga, panjang A Q = tinggi segitiga dan panjang QB = setengah dari sisi segitiga. Hal ini berarti, ( 2 3 ) 2 t 2 t 2 t t = = = = = t 2 + ( 1/2 ( 2 3 ) ) 2 4 ( 3 ) − 3 12 − 3 9 3 Karena tinggi segitiga telah diketahui, maka luas segitiga adalah L △ ABC = = = 2 1 ⋅ alas ⋅ tinggi 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 3 3 3 Dari luas dan keliling yang telah diketahui diperoleh jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah r 1 = 2 1 6 3 3 3 = 1 Dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga adalah L ◯ 1 = = = π ⋅ ( r 1 ) 2 π ⋅ ( 1 ) 2 π Selanjutnya, hitung lingkaran kedua yang berada dalam segitiga DBE . Dari gambar terlihat bahwa panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga DBE adalah 3 1 panjang OQ . Ingat bahwa perbandingan AO : OQ = 2 : 1 dengan AQ = 3 maka OQ = 1 . Hal ini berarti r 2 = 3 1 , dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga DBE adalah L ◯ 2 = = = π ⋅ ( r 2 ) 2 π ⋅ ( 3 1 ) 2 9 1 π Perhitungan pada lingkaran selanjutnya akan memiliki pola yang sama dengan perhitungan sebelumya dan dapat dilanjutkan terus menerus tak berhingga kali. Dengan demikian akan terbentuk deret geometri tak hingga: π + π ( 9 1 ) + π ( 9 1 ) 2 + … Namun karena pola ini hanya berlaku pada satu sisi segitiga, lingkaran terbesar tidak termasuk dalam deret geometri yang akan dihitung sebagai berikut: S = = = 1 − 9 1 π ( 9 1 ) 9 8 π ( 9 1 ) 8 1 π Luas seluruh lingkaran-lingkaran dalam segitiga adalah jumlah dari luas lingkran terbesar dengan luas 3 kali jumlah deret geometri tak hingga di atas Dengan demikian, L ◯ = = = L 1 + 3 ⋅ S π + 3 ⋅ 8 π 1 8 3 π Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Perhatikan ilustrasi berikut:

Misalkan segitiga sama sisi $ABC$ seperti pada gambar. Dengan pusat dari masing masing lingkaran berada pada garis lurus dari pusat lingkaran terbesar yaitu titik $O$ . Pada soal ini hanya perlu memperhatikan pola dari satu sisi segitiga karena sisi lainnya akan memeliki sifat yang sama.

Pertama, tentukan luas dari lingkaran yang paling besar dengan pusat $O$ . Ingat rumus jari-jari lingkaran dalam lingkaran sama sisi :

$r = \frac{L _{△ ABC}}{\frac{1}{2} K _{△ ABC}}$

$L_{△ ABC}$ : luas segitiga $ABC$

$\frac{1}{2} K_{△ ABC}$ : keliling segtiga $ABC$

Hitung terlebih dahulu luas dan keliling segitiga $ABC$

Diketahui: panjang sisi dari segitiga adalah $23$ , hal ini berarti

$K_{△ ABC} = = = 3 \cdot sisi 3 \cdot 23 63$

Untuk menentukan luas segitiga perlu ditentukan tinggi dari segitia. Tinggi segitiga dapat dicari dengan rumus Pythagoras:

$A B^{2} = A Q^{2} + Q B^{2}$

Dengan panjang $A B =$ sisi segitiga, panjang $A Q =$ tinggi segitiga dan panjang $QB =$ setengah dari sisi segitiga.

Hal ini berarti,

$(23)^{2} t^{2} t^{2} t t = = = = = t^{2} + (1/2 (23))^{2} 4 (3) - 3 12 - 3 93$

Karena tinggi segitiga telah diketahui, maka luas segitiga adalah

$L_{△ ABC} = = = \frac{1}{2} \cdot alas \cdot tinggi \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 3 33$

Dari luas dan keliling yang telah diketahui diperoleh jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah

$r_{1} = \frac{3 3}{\frac{1}{2} 6 3} = 1$

Dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga adalah

$L_{◯ 1} = = = π \cdot (r_{1})^{2} π \cdot (1)^{2} π$

Selanjutnya, hitung lingkaran kedua yang berada dalam segitiga $DBE$ .

Dari gambar terlihat bahwa panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga $DBE$ adalah $\frac{1}{3}$ panjang $OQ$ .

Ingat bahwa perbandingan $AO : OQ = 2 : 1$ dengan $AQ = 3$ maka $OQ = 1$ . Hal ini berarti $r_{2} = \frac{1}{3}$ , dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga $DBE$ adalah

$L_{◯ 2} = = = π \cdot (r_{2})^{2} π \cdot (\frac{1}{3})^{2} \frac{1}{9} π$

Perhitungan pada lingkaran selanjutnya akan memiliki pola yang sama dengan perhitungan sebelumya dan dapat dilanjutkan terus menerus tak berhingga kali.

Dengan demikian akan terbentuk deret geometri tak hingga:

$π + π (\frac{1}{9}) + π (\frac{1}{9})^{2} + \dots$

Namun karena pola ini hanya berlaku pada satu sisi segitiga, lingkaran terbesar tidak termasuk dalam deret geometri yang akan dihitung sebagai berikut:

$S = = = \frac{π ( \frac{1}{9} )}{1 - \frac{1}{9}} \frac{π ( \frac{1}{9} )}{\frac{8}{9}} \frac{1}{8} π$

Luas seluruh lingkaran-lingkaran dalam segitiga adalah jumlah dari luas lingkran terbesar dengan luas $3$ kali jumlah deret geometri tak hingga di atas

Dengan demikian,

$L_{◯} = = = L_{1} + 3 \cdot S π + 3 \cdot \frac{π}{8} 1 \frac{3}{8} π$

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Fathir Ragil Akhdara

Bantu banget Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Desimal berulang dapatkita pandang sebagai deret dan dapat dituliskan sebagai pecahan. Sebagai contoh: 0 , 12121212... = = 100 12 + 10 0 2 12 + 10 0 3 12 + ... 1 − 100 1 100 12 = 99...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut! Diberikan lingkaran L 1 dengan jari-jari 10 cm . Di dalam L 1 , dibuat persegi P 1 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 1 .Di dalam P 1 ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Seseorang berjalan dengan kecepatan 12 km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam kedua, kecepatannya berkurang menjadi sepertiganya. Demikian juga pada jam-jam berikutnya, kecepatan berkurang menjadi sepe...

4.4

Jawaban terverifikasi

Panjang sisi segi enam beraturan tersebut adalah 10 cm . Titik sudut segi enam ke-2 merupakan titik tengah sisi-sisi segi enam pertama, titik sudut segi enam ke-3 merupakan titik tengah segi enam ke-2...

0.0

Jawaban terverifikasi

Desimal berulang dapatkita pandang sebagai deret dan dapat dituliskan sebagai pecahan. Sebagai contoh: 0 , 12121212... = = 100 12 + 10 0 2 12 + 10 0 3 12 + ... 1 − 100 1 100 12 = 99...

0.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS