Perhatikan gambar berikut. Di dalam segititga sama sisi yang panjang sisinya 2 3 ​ diisi lingkaran-lingkaran yang jumlahnya sampai takhingga. Luas lingkaran seluruhnya = ….

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi berikut: Misalkan segitiga sama sisi ABC seperti pada gambar. Dengan pusat dari masing masing lingkaran berada pada garis lurus dari pusat lingkaran terbesar yaitu titik O . Pada soal ini hanya perlu memperhatikan pola dari satu sisi segitiga karena sisi lainnya akan memeliki sifat yang sama. Pertama, tentukan luas dari lingkaran yang paling besar dengan pusat O . Ingat rumus jari-jari lingkaran dalam lingkaran sama sisi : r = 2 1 ​ K △ ABC ​ L △ ABC ​ ​ L △ ABC ​ : luas segitiga ABC 2 1 ​ K △ ABC ​ : keliling segtiga ABC Hitung terlebih dahulu luas dan keliling segitiga ABC Diketahui: panjang sisi dari segitiga adalah 2 3 ​ , hal ini berarti K △ ABC ​ ​ = = = ​ 3 ⋅ sisi 3 ⋅ 2 3 ​ 6 3 ​ ​ Untuk menentukan luas segitiga perlu ditentukan tinggi dari segitia. Tinggi segitiga dapat dicari dengan rumus Pythagoras: A B 2 = A Q 2 + Q B 2 Dengan panjang A B = sisi segitiga, panjang A Q = tinggi segitiga dan panjang QB = setengah dari sisi segitiga. Hal ini berarti, ( 2 3 ​ ) 2 t 2 t 2 t t ​ = = = = = ​ t 2 + ( 1/2 ( 2 3 ​ ) ) 2 4 ( 3 ) − 3 12 − 3 9 ​ 3 ​ Karena tinggi segitiga telah diketahui, maka luas segitiga adalah L △ ABC ​ ​ = = = ​ 2 1 ​ ⋅ alas ⋅ tinggi 2 1 ​ ⋅ 2 3 ​ ⋅ 3 3 3 ​ ​ Dari luas dan keliling yang telah diketahui diperoleh jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah r 1 ​ = 2 1 ​ 6 3 ​ 3 3 ​ ​ = 1 Dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga adalah L ◯ 1 ​ ​ = = = ​ π ⋅ ( r 1 ​ ) 2 π ⋅ ( 1 ) 2 π ​ Selanjutnya, hitung lingkaran kedua yang berada dalam segitiga DBE . Dari gambar terlihat bahwa panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga DBE adalah 3 1 ​ panjang OQ . Ingat bahwa perbandingan AO : OQ = 2 : 1 dengan AQ = 3 maka OQ = 1 . Hal ini berarti r 2 ​ = 3 1 ​ , dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga DBE adalah L ◯ 2 ​ ​ = = = ​ π ⋅ ( r 2 ​ ) 2 π ⋅ ( 3 1 ​ ) 2 9 1 ​ π ​ Perhitungan pada lingkaran selanjutnya akan memiliki pola yang sama dengan perhitungan sebelumya dan dapat dilanjutkan terus menerus tak berhingga kali. Dengan demikian akan terbentuk deret geometri tak hingga: π + π ( 9 1 ​ ) + π ( 9 1 ​ ) 2 + … Namun karena pola ini hanya berlaku pada satu sisi segitiga, lingkaran terbesar tidak termasuk dalam deret geometri yang akan dihitung sebagai berikut: S ​ = = = ​ 1 − 9 1 ​ π ( 9 1 ​ ) ​ 9 8 ​ π ( 9 1 ​ ) ​ 8 1 ​ π ​ Luas seluruh lingkaran-lingkaran dalam segitiga adalah jumlah dari luas lingkran terbesar dengan luas 3 kali jumlah deret geometri tak hingga di atas Dengan demikian, L ◯ ​ ​ = = = ​ L 1 ​ + 3 ⋅ S π + 3 ⋅ 8 π ​ 1 8 3 ​ π ​ Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.