Roboguru

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut. Di dalam segititga sama sisi yang panjang sisinya 2 square root of 3 diisi lingkaran-lingkaran yang jumlahnya sampai takhingga.

Luas lingkaran seluruhnya equals ….

  1. 1 1 over 8 straight pi

  2. 1 1 fourth straight pi

  3. 1 3 over 8 straight pi

  4. 1 1 half straight pi

  5. 1 5 over 8 straight pi

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi berikut:

Misalkan segitiga sama sisi ABC seperti pada gambar. Dengan pusat dari masing masing lingkaran berada pada garis lurus dari pusat lingkaran terbesar yaitu titik straight O. Pada soal ini hanya perlu memperhatikan pola dari satu sisi segitiga karena sisi lainnya akan memeliki sifat yang sama.

Pertama, tentukan luas dari lingkaran yang paling besar dengan pusat straight O. Ingat rumus jari-jari lingkaran dalam lingkaran sama sisi :

r equals fraction numerator straight L subscript triangle ABC end subscript over denominator begin display style 1 half end style straight K subscript triangle ABC end subscript end fraction

straight L subscript triangle ABC end subscript: luas segitiga ABC

1 half straight K subscript triangle ABC end subscript: keliling segtiga ABC

Hitung terlebih dahulu luas dan keliling segitiga ABC

Diketahui: panjang sisi dari segitiga adalah 2 square root of 3, hal ini berarti

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight K subscript triangle ABC end subscript end cell equals cell 3 times sisi end cell row blank equals cell 3 times 2 square root of 3 end cell row blank equals cell 6 square root of 3 end cell end table

Untuk menentukan luas segitiga perlu ditentukan tinggi dari segitia. Tinggi segitiga dapat dicari dengan rumus Pythagoras:

A B squared equals A Q squared plus Q B squared

Dengan panjang A B equalssisi segitiga, panjang A Q equalstinggi segitiga dan panjang Q B equals setengah dari sisi segitiga.

Hal ini berarti,

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis 2 square root of 3 right parenthesis squared end cell equals cell t squared plus left parenthesis 1 divided by 2 left parenthesis 2 square root of 3 right parenthesis right parenthesis squared end cell row cell t squared end cell equals cell 4 left parenthesis 3 right parenthesis minus 3 end cell row cell t squared end cell equals cell 12 minus 3 end cell row t equals cell square root of 9 end cell row t equals 3 end table

Karena tinggi segitiga telah diketahui, maka luas segitiga adalah

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight L subscript triangle ABC end subscript end cell equals cell 1 half times alas times tinggi end cell row blank equals cell 1 half times 2 square root of 3 times 3 end cell row blank equals cell 3 square root of 3 end cell end table

Dari luas dan keliling yang telah diketahui diperoleh jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah

r subscript 1 equals fraction numerator 3 square root of 3 over denominator begin display style 1 half end style 6 square root of 3 end fraction equals 1

Dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga adalah

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L subscript circle 1 end subscript end cell equals cell pi times open parentheses r subscript 1 close parentheses squared end cell row blank equals cell pi times left parenthesis 1 right parenthesis squared end cell row blank equals straight pi end table

Selanjutnya, hitung lingkaran kedua yang berada dalam segitiga DBE.

Dari gambar terlihat bahwa panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga DBE adalah 1 third panjang OQ.

Ingat bahwa perbandingan AO colon OQ equals 2 colon 1 dengan AQ equals 3 maka OQ equals 1. Hal ini berarti r subscript 2 equals 1 third, dengan demikian luas lingkaran dalam segitiga DBE adalah

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L subscript circle 2 end subscript end cell equals cell pi times open parentheses r subscript 2 close parentheses squared end cell row blank equals cell pi times open parentheses 1 third close parentheses squared end cell row blank equals cell 1 over 9 straight pi end cell end table

Perhitungan pada lingkaran selanjutnya akan memiliki pola yang sama dengan perhitungan sebelumya dan dapat dilanjutkan terus menerus tak berhingga kali.

Dengan demikian akan terbentuk deret geometri tak hingga:

straight pi plus straight pi open parentheses 1 over 9 close parentheses plus straight pi open parentheses 1 over 9 close parentheses squared plus horizontal ellipsis

Namun karena pola ini hanya berlaku pada satu sisi segitiga, lingkaran terbesar tidak termasuk dalam deret geometri yang akan dihitung sebagai berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row straight S equals cell fraction numerator straight pi open parentheses begin display style 1 over 9 end style close parentheses over denominator 1 minus 1 over 9 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator straight pi open parentheses begin display style 1 over 9 end style close parentheses over denominator 8 over 9 end fraction end cell row blank equals cell 1 over 8 straight pi end cell end table

Luas seluruh lingkaran-lingkaran dalam segitiga adalah jumlah dari luas lingkran terbesar dengan luas 3 kali jumlah deret geometri tak hingga di atas

Dengan demikian,

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L subscript circle end cell equals cell L subscript 1 space plus space 3 space times S end cell row blank equals cell straight pi space plus space 3 times straight pi over 8 end cell row blank equals cell 1 3 over 8 straight pi end cell end table

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

289

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Desimal berulang dapat kita pandang sebagai deret dan dapat dituliskan sebagai pecahan. Sebagai contoh:  0,12121212...​==​10012​+100212​+100312​+...1−1001​10012​​=9912​​  Tuliskan pecahan desimal be...

11

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia