Pertanyaan

Penyelesaian dari persamaan 3 cos x + sin x = 2 pada interval 0° < x < 360° adalah ....

Penyelesaian dari persamaan $3 cos x + sin x = 2$ pada interval 0° < x < 360° adalah ....

x = 45° dan x = 315°
x = 75° dan x = 345°
x = 105° dan x = 195°
x = 15° dan x = 285°
x = 165° dan x = 255°

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Kamilia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

penyelesaian dari persamaan pada interval 0° < x < 360° adalah x = 75° dan x = 345°.

penyelesaian dari persamaan

pada interval 0° < x < 360° adalah x = 75° dan x = 345°.

Pembahasan

Ingat bahwa dengan syarat dan Sehingga dari bentuk didapat A = dan B = 1. Bentuk tersebut dapat dibentuk menjadi k cos⁡(x - α) dengan dan Perhatikan bahwa A berhubungan dengan cos⁡ x dan B berhubungan dengan sin ⁡x. Kemudian A bernilai positif dan B bernilai positif. Kuadran dengan cosinus sudut yang bernilai positif dan sinus sudut yang bernilai positif terdapat pada kuadran I. Sehingga α berada pada kuadran I. Karena , maka α = 30°. Sehingga Maka Ingat bahwa pada persamaan cosA = cos ⁡B, maka A = B + k⋅360° atau A = -B + k⋅360°. Sehingga dari persamaan cos⁡(x - 30°) = cos⁡ 45°, didapat Atau Perhatikan bahwa 0° < x < 360°. Untuk x = 75° + k⋅360°, Jika k = 0, maka x = 75° + 0⋅360° = 75°. Jika k = 1, maka x = 75° + 1⋅360° = 435° (tidak memenuhi). Untuk x = -15° + k⋅360°, Jika k = 0, maka x = -15° + 0⋅360° = -15° (tidak memenuhi). Jika k = 1, maka x = -15° + 1⋅360° = 345°. Jika k = 2, maka x = -15° + 2⋅360° = 705° (tidak memenuhi). Sehingga penyelesaian dari persamaan pada interval 0° < x < 360° adalah x = 75° dan x = 345°.

Ingat bahwa

dengan syarat

dan

Sehingga dari bentuk didapat A = dan B = 1.

Bentuk tersebut dapat dibentuk menjadi k cos⁡(x - α) dengan

dan

$begin mathsize 14px style alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses B over A close parentheses equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses 1 third square root of 3 close parentheses end style$

Perhatikan bahwa A berhubungan dengan cos⁡ x dan B berhubungan dengan sin ⁡x.
Kemudian A bernilai positif dan B bernilai positif.

Kuadran dengan cosinus sudut yang bernilai positif dan sinus sudut yang bernilai positif terdapat pada kuadran I. Sehingga α berada pada kuadran I.

Karena , maka α = 30°.

Sehingga

Maka

Ingat bahwa pada persamaan cos A = cos ⁡B, maka A = B + k⋅360° atau A = -B + k⋅360°.

Sehingga dari persamaan cos⁡(x - 30°) = cos⁡ 45°, didapat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 30 degree end cell equals cell 45 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 45 degree plus 30 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 75 degree plus k times 360 degree end cell end table end style

Atau

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 30 degree end cell equals cell negative 45 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell negative 45 degree plus 30 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell negative 15 degree plus k times 360 degree end cell end table end style

Perhatikan bahwa 0° < x < 360°.
Untuk x = 75° + k⋅360°,
Jika k = 0, maka x = 75° + 0⋅360° = 75°.
Jika k = 1, maka x = 75° + 1⋅360° = 435° (tidak memenuhi).

Untuk x = -15° + k⋅360°,
Jika k = 0, maka x = -15° + 0⋅360° = -15° (tidak memenuhi).
Jika k = 1, maka x = -15° + 1⋅360° = 345°.
Jika k = 2, maka x = -15° + 2⋅360° = 705° (tidak memenuhi).

Sehingga penyelesaian dari persamaan pada interval 0° < x < 360° adalah x = 75° dan x = 345°.