Roboguru

Pada segitiga ABC diketahui bahwa perbandingan sisi-sisi a:b:c=2:3:4. Tentukan sin(A+B).

Pertanyaan

Pada segitiga ABC diketahui bahwa perbandingan sisi-sisi a space colon space b space colon space c space equals space 2 space colon space 3 space colon space 4. Tentukan sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses.space space 

Pembahasan Soal:

Ingat,

Sudut dalam Segitiga

straight A plus straight B plus straight C equals 180 degree

Aturan Cos-Perbandingan Sisi

c squared equals a squared plus b squared minus 2 times a times b times cos space straight C

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut (Sinus)

sin space open parentheses straight A minus straight B close parentheses equals sin space straight A space cos space straight B space minus space cos space straight A space sin space straight B

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Karena segitiga ABC maka, 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight A plus straight B plus straight C end cell equals cell 180 degree end cell row cell straight A plus straight B end cell equals cell 180 degree minus straight C end cell end table

Bentuk sederhana sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses end cell equals cell sin space open parentheses 180 degree minus straight C close parentheses end cell row blank equals cell sin space 180 degree space sin space straight C space minus space cos space 180 degree space sin space straight C end cell row blank equals cell 0 minus open parentheses negative 1 space sin space straight C close parentheses end cell row blank equals cell sin space straight C end cell end table

Menghitung sudut straight C dengan aturan cos
Diketahui bahwa perbandingan sisi-sisi a space colon space b space colon space c space equals space 2 space colon space 3 space colon space 4
Misal : a equals 2 x b equals 3 x c equals 4 x

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell c squared end cell equals cell a squared plus b squared minus 2 times a times b times cos space straight C end cell row cell open parentheses 4 straight x close parentheses squared end cell equals cell open parentheses 2 straight x close parentheses squared plus open parentheses 3 straight x close parentheses squared minus 2 open parentheses 2 straight x close parentheses open parentheses 3 straight x close parentheses cos space straight C end cell row cell 16 straight x squared end cell equals cell 4 straight x squared plus 9 straight x squared minus 12 straight x squared space cos space straight C end cell row cell 16 straight x squared end cell equals cell 13 straight x squared minus 12 straight x squared space cos space straight C end cell row cell 3 straight x squared end cell equals cell negative 12 straight x squared space cos space straight C end cell row cell cos space straight C end cell equals cell fraction numerator 3 straight x squared over denominator negative 12 straight x squared end fraction end cell row cell cos space straight C end cell equals cell negative 1 fourth end cell row cell cos space straight C end cell equals cell negative 0 comma 25 end cell row straight C equals cell 105 degree end cell end table

Menentukan nilai sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses
Diperoleh bahwa sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses equals sin space straight C dan besar angle straight C equals 105 degree, sehingga

sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses equals sin space straight C equals sin space 105 degree equals 0 comma 97

Dengan demikian, nilai dari sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses adalah 0 comma 97.space space 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

R. Utami

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang

Terakhir diupdate 15 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahui A,B,danC adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Jika A−B=30∘ dan sinC=65​, tentukan nilai dari cosAsinB.

Pembahasan Soal:

Ingat,

Sudut dalam segitiga

A+B+C=180

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Penjumlahan Dua Sudut (Sinus)

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut (Sinus)

sin(AB)=sinAcosBcosAsinB

Sudut Berelasi (Kuadran II)

sin(180A)=sinA

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Karena A,B,danC adalah sudut-sudut sebuah segitiga maka 

A+B+CC==180180(A+B)

► Menentukan nilai sin(A+B)

Diketahui sinC=65

sinC65==sin(180(A+B))sin(A+B)

► Menentukan nilai sin(AB)

Diketahui AB=30 maka sin(AB)=sin30=21

► Menentukan nilai cosAsinB

sin(A+B)sin(AB)652165362cosAsinBcosAsinB======sinAcosB+cosAsinB(sinAcosBcosAsinB)2cosAsinB2cosAsinB2cosAsinB12261

Dengan demikian, nilai dari cosAsinB adalah 61. 

3

Roboguru

Jika sinα=−53​ dancosβ=1312​ dengan α dan β masing-masing pada kuadran III dan IV. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, hitunglah sin(α−β).

Pembahasan Soal:

Ingat rumus selisih dua sudut pada sinus yaitu

sin open parentheses text A end text minus text B end text close parentheses equals sin space text A end text times cos space text B end text minus cos space text A end text space sin space text B end text

Diketahui sin space text α end text equals negative 3 over 5 maka berdasarkan definisi sinus pada perbandingan sisi trigonometri sehingga dapat diilustrasikan dalam segitiga berikut.



Maka panjang sisi samping dapat ditentukan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text samping end text end cell equals cell square root of text miring end text squared minus text depan end text squared end root end cell row blank equals cell square root of 5 squared minus open parentheses negative 3 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 25 minus 9 end root end cell row blank equals cell square root of 16 end cell row blank equals 4 end table

text α end text Sudut pada kuadran III maka, cosinus sudut text α dan β end text bernilai negatif sehingga nilai sisi sampingnya yaitu negative 4. Oleh karena itu, nilai cosinusnya yaitu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator text samping end text over denominator text miring end text end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 4 over denominator 5 end fraction end cell end table

Diketahui cos space text β end text equals 12 over 13 maka berdasarkan definisi cosinus pada perbandingan sisi trigonometri sehingga dapat diilustrasikan dalam segitiga berikut.



Maka panjang sisi depan dapat ditentukan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text depan end text end cell equals cell square root of text miring end text squared minus text samping end text squared end root end cell row blank equals cell square root of 13 squared minus 12 squared end root end cell row blank equals cell square root of 169 minus 144 end root end cell row blank equals cell square root of 25 end cell row blank equals 5 end table

text β end text sudut pada kuadran IV maka sinus bernilai negatif sehingga panjang sisi depannya yaitu negative 5. Oleh karena itu, nilai sinusnya yaitu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space beta end cell equals cell fraction numerator text depan end text over denominator text miring end text end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 5 over denominator 13 end fraction end cell end table

Sehingga sin open parentheses alpha minus beta close parentheses sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell sin space alpha space cos space beta minus cos space alpha space sin space beta end cell row blank equals cell fraction numerator negative 3 over denominator 5 end fraction times 12 over 13 minus fraction numerator negative 4 over denominator 5 end fraction times fraction numerator negative 5 over denominator 13 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 36 over denominator 65 end fraction minus 20 over 65 end cell row blank equals cell fraction numerator negative 36 minus 20 over denominator 65 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 56 over denominator 65 end fraction end cell end table


Jadi nilai dari sin open parentheses alpha minus beta close parentheses adalah table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator negative 56 over denominator 65 end fraction end cell end table.

2

Roboguru

Selesaikan soal berikut dengan tepat dan terstruktur. 3. Jika sinx=135​, maka tentukan nilai sin(x−67​π)

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

  • sin(AB)=sinAcosBcosAsinB 
  • sinA=sisimiringsisidepanA 
  • cosA=sisimiringsisisampingA 

Diketahui sinx=135, maka dapat digambarkan sebagai berikut:

dari gambar di atas, dapat ditentukan:

m====132521692514412 

Didapat:

sinx=135cosx=1312 

Sehingga:

sin(x67π)====sin(x210)sinxcos210cosxsin210135(213)13126(211)2653+136 

Jadi, sin(x67π)=2653+136.

0

Roboguru

Jika sinAcosB=p dan sin(A−B)=q. Nilai dari cotanAtanB=...

Pembahasan Soal:

Diketahui,

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut (Sinus)

sin(AB)=sinAcosBcosAsinB

Identitas Trigonometri

tanAcotanA==cosAsinAsinAcosA

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Diketahui sinAcosB=p dan sin(AB)=q

► Menentukan cosAsinB

sin(AB)qcosAsinB===sinAcosBcosAsinBpcosAsinBpq

► Menentukan Nilai dari cotanAtanB

cotanAtanB=====sinAcosAcosBsinBsinAcosBcosAsinBppqpp(1pq)1pq 

Dengan demikian, nilai dari cotanAtanB=1pq

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A. 

1

Roboguru

Jika A+B=60∘, tunjukkan bahwa sinA=21​(3​cosB−sinB).

Pembahasan Soal:

Gunakan konsep rumus sinus selisih dua sudut.

sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses equals sin space alpha times cos space beta minus cos space alpha times sin space beta

Ingat kembali nilai trigonometri sudut istimewa 60 degree.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell sin space 60 degree end cell equals cell 1 half square root of 3 end cell row cell cos space 60 degree end cell equals cell 1 half end cell end table

Diketahui straight A plus straight B equals 60 degree, akan ditunjukkan bahwa sin space straight A equals 1 half open parentheses square root of 3 space cos space straight B minus sin space straight B close parentheses.

Sederhanakan straight A plus straight B equals 60 degree menjadi sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell straight A plus straight B end cell equals cell 60 degree end cell row straight A equals cell 60 degree minus straight B end cell end table

Perhatikan perhitungan berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px 2px 2px end attributes row cell sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell sin space alpha times cos space beta minus cos space alpha times sin space beta end cell row cell sin space straight A end cell equals cell sin space open parentheses 60 degree minus straight B close parentheses end cell row blank equals cell sin space 60 degree times cos space straight B minus cos space 60 degree times sin space straight B end cell row blank equals cell 1 half square root of 3 times cos space straight B minus 1 half times sin space straight B end cell row cell sin space straight A end cell equals cell 1 half open parentheses square root of 3 space cos space straight B minus sin space straight B close parentheses end cell end table 

Diperoleh nilai sin space straight A equals 1 half open parentheses square root of 3 space cos space straight B minus sin space straight B close parentheses.

Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sin space straight A equals 1 half open parentheses square root of 3 space cos space straight B minus sin space straight B close parentheses.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved