Roboguru

Diketahui A,B,danC adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Jika A−B=30∘ dan sinC=65​, tentukan nilai dari cosAsinB.

Pertanyaan

Diketahui A,B,danC adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Jika AB=30 dan sinC=65, tentukan nilai dari cosAsinB. 

Pembahasan Soal:

Ingat,

Sudut dalam segitiga

A+B+C=180

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Penjumlahan Dua Sudut (Sinus)

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut (Sinus)

sin(AB)=sinAcosBcosAsinB

Sudut Berelasi (Kuadran II)

sin(180A)=sinA

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Karena A,B,danC adalah sudut-sudut sebuah segitiga maka 

A+B+CC==180180(A+B)

► Menentukan nilai sin(A+B)

Diketahui sinC=65

sinC65==sin(180(A+B))sin(A+B)

► Menentukan nilai sin(AB)

Diketahui AB=30 maka sin(AB)=sin30=21

► Menentukan nilai cosAsinB

sin(A+B)sin(AB)652165362cosAsinBcosAsinB======sinAcosB+cosAsinB(sinAcosBcosAsinB)2cosAsinB2cosAsinB2cosAsinB12261

Dengan demikian, nilai dari cosAsinB adalah 61. 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

R. Utami

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Jika sin(A+B)=0,70dansin(A−B)=0,5, hitunglah: a. 2sinAcosB

Pembahasan Soal:

Diketahui sin(A+B)=0,70dansin(AB)=0,5, 

Akan dicari 2sinAcosB 

Ingat bahwa
 

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(AB)=sinAcosBcosAsinB 
 

Maka 
 

sinAcosB+cosAsinB=0,70sinAcosBcosAsinB=0,5 
 

Selanjutnya gunakan teknik eliminasi seperti berikut
 

sinAcosB+cosAsinB=0,70sinAcosBcosAsinB=0,52sinAcosB=1,2+  
 

Dengan demikian, diperoleh 2sinAcosB=1,2 .

Roboguru

Jika sin(A+B)=0,70dansin(A−B)=0,5, hitunglah: b. 2cosAsinB

Pembahasan Soal:

Diketahui sin(A+B)=0,70dansin(AB)=0,5,  

Akan dicari 2cosAsinB 

Ingat bahwa

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(AB)=sinAcosBcosAsinB   

Maka

sinAcosB+cosAsinB=0,70sinAcosBcosAsinB=0,5 

Selanjutnya gunakan teknik eliminasi seperti berikut

 sinAcosB+cosAsinB=0,70sinAcosBcosAsinB=0,52cosAsinB=0,2 

Dengan demikian, diperoleh .2cosAsinB=0,2  

Roboguru

a. Buktikanlah:   (Petunjuk: Ruas kiri kalikan dengan )

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa:

  • 2 sin space straight A space cos space straight B equals sin left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis plus sin left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis 
  • sin space left parenthesis 90 degree minus x right parenthesis equals cos space x 

Pembuktian dari ruas kiri:

sin space 54 degree minus sin space 18 degree equals open parentheses sin space 54 degree minus sin space 18 degree close parentheses open parentheses fraction numerator 2 space cos space 18 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction close parentheses equals fraction numerator 2 sin space 54 degree space cos space 18 degree minus 2 sin space 18 degree space cos space 18 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space 72 degree space plus sin space 36 degree minus open parentheses sin space 36 degree plus sin space 0 degree close parentheses over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space 72 degree space plus sin space 36 degree minus open parentheses sin space 36 degree close parentheses over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space 72 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space open parentheses 90 degree minus 18 degree close parentheses over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator cos space 18 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals 1 half 

Jadi, Terbukti bahwa sin space 54 degree minus sin space 18 degree equals 1 half.

Roboguru

A,B,dan Cmerupakan sudut-sudut dalam △ABC. Jika A−B=30∘ dan sinC=65​. Maka sinA⋅cosB= . . . .

Pembahasan Soal:

Diketahui: A,B,dan Cmerupakan sudut-sudut dalam ABCAB=30 dan sinC=65.

Ditanya: sinAcosB=...

Untuk menjawab soal tersebut, ingat rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri berikut ini:

sin(AB)=sinAcosBcosAsinB

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Dari soal di atas diketahui nilai:

sin(AB)21==sinAcosBcosAsinBsin30=sinAcosBcosAsinBsinAcosBcosAsinB

dan

sinC=65sin(180(A+B))=65sin(A+B)=65

Sehingga nilai sin(A+B)=65. Dengan menggunakan rumus jumlah dua sudut sinus, maka diperoleh hasil:

sin(A+B)=65sinAcosB+cosAsinB=65sinAcosB+cosAsinB=65

Dari perhitungan di atas, diperoleh dua persamaan yaitu sinAcosBcosAsinB=21 dan sinAcosB+cosAsinB=65. Dengan metode eliminasi, diperoleh:

sinAcosBcosAsinB=21sinAcosB+cosAsinB=65+

2sinAcosB2sinAcosB=====21+6563+65683434sinAcosB=34×21=32

 

Oleh karena itu, jika A,B,dan Cmerupakan sudut-sudut dalam ABC, serta AB=30 dan sinC=65, maka sinAcosB=32.

Jadi, jawaban yang benar adalah D.

Roboguru

Tentukan nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan berikut. sin45∘⋅sin46∘1​+sin47∘⋅sin48∘1​+...+sin133∘⋅sin134∘1​=sinn∘1​

Pembahasan Soal:

Ingat,

Hubungan cotan dengan sin dan cos

cotanA=sinAcosA

Sudut Berelasi (Kuadran II)

sin(180A)=sinA

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut

sin(AB)=sinAcosBcosAsinB

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Menyederhanakan bentuk sin45sin461+sin47sin481+...+sin133sin1341=sinn1 dengan sudut berelasi, sehingga

sin45sin461+sin47sin481+...+sin133sin1341=sin45sin461+sin47sin481+...+sin(180133)sin(180134)1=sin45sin461+sin47sin481+...+sin47sin461=sin45sin461+sin46sin471+sin47sin481+...+sin89sin901

 

Perhatikan bahwa,

cotAcotB===sinAcosAsinBcosBsinAsinBsinBcosAcosBsinAsinAsinBsin(BA)

Sehingga,

=======sin45sin461+sin46sin471+sin47sin481+...+sin89sin901sin11[sin45sin46sin1+sin46sin47sin1+sin47sin48sin1+...+sin89sin90sin1]sin11[sin45sin46sin(4645)+sin46sin47sin(4746)+sin47sin48sin(4847)+...+sin89sin90sin(9089)]sin11[(cot45cot46)+(cot46cot47)+(cot47cot48)+...+(cot89cot90)]sin11[cot45cot90]sin11[10]sin11

Karena sin45sin461+sin47sin481+...+sin133sin1341=sinn1 maka n=1

Dengan demikian, nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1. 

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved