Pertanyaan

Pada gambar berikut, garis AB melalui titik P ( 4 , 1 ) dan besar ∠ B A O = θ dengan 0 < θ < 2 1 π . Buktikan bahwa panjang OA + OB = 5 + 4 tan θ + cot θ dan buktikan juga bahwa jika θ berubah-ubah, maka nilai minimum bagi OA + OB adalah 9 .

Pada gambar berikut, garis $AB$ melalui titik $P (4, 1)$ dan besar $∠ B A O = θ$ dengan $0 < θ < \frac{1}{2} π$ .

Buktikan bahwa panjang $OA + OB = 5 + 4 tan θ + cot θ$ dan buktikan juga bahwa jika $θ$ berubah-ubah, maka nilai minimum bagi $OA + OB$ adalah $9$ .

G. Albiah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Galuh Ciamis

Jawaban terverifikasi

Jawaban

panjang terbuktidannilai minimum bagi adalah terbukti.

panjang

OA plus OB equals 5 plus 4 tanθ plus cotθ

terbukti dan nilai minimum bagi OA plus OB

adalah

terbukti.

Pembahasan

berada di kuadran maka . Dengan memperhatikan gambar, di dapatkan Terdapat Subtitusi Terdapat , Maka, Untuk membuktikannilai minimum bagi adalah maka cari turunan fungsi. Nilai minimum Karena maka tan bernilai positif. Subtitusi ke Jadi,panjang terbuktidannilai minimum bagi adalah terbukti.

0 less than theta less than 1 half straight pi berada di kuadran straight I space maka 0 degree less than theta less than 90 degree .

Dengan memperhatikan gambar, di dapatkan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row OA equals cell OC plus CA end cell row OB equals cell OD plus DB end cell row cell OA plus OB end cell equals cell OC plus CA plus OD plus DB end cell row blank equals cell 4 plus CA plus OD plus DB end cell end table

Terdapat triangle P C A

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row tanθ equals cell depan over samping end cell row tanθ equals cell 1 over CA end cell row CA equals cell 1 over tan straight theta end cell end table

Subtitusi

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell OA plus OB end cell equals cell OC plus CA plus OD plus DB end cell row blank equals cell 4 plus CA plus OD plus DB end cell row blank equals cell 4 plus 1 over tanθ plus 1 plus DB end cell end table

Terdapat triangle BDP , angle straight P equals angle straight A equals straight theta

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row tanθ equals cell depan over samping end cell row tanθ equals cell DB over 4 end cell row DB equals cell 4 tanθ end cell end table

Maka,

Untuk membuktikan nilai minimum bagi OA plus OB adalah maka cari turunan fungsi.

f left parenthesis theta right parenthesis equals 5 plus 4 tanθ plus cotθ

Nilai minimum f left parenthesis theta right parenthesis equals 0

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 0 equals cell 0 plus 4 s e c squared theta minus cos e c squared theta end cell row 0 equals cell 4 s e c squared theta minus cos e c squared theta end cell row cell cos e c squared theta end cell equals cell 4 s e c squared theta end cell row cell fraction numerator 1 over denominator sin squared theta end fraction end cell equals cell 4 open parentheses fraction numerator 1 over denominator cos squared theta end fraction close parentheses end cell row cell fraction numerator sin squared theta over denominator cos squared theta end fraction end cell equals cell 1 fourth end cell row cell tan squared theta end cell equals cell 1 fourth end cell row cell tan theta end cell equals cell square root of 1 fourth end root end cell row cell tan theta end cell equals cell plus-or-minus 1 half end cell row blank blank blank end table$

Karena 0 less than theta less than 1 half straight pi maka tan bernilai positif.

tan theta equals 1 half

Subtitusi tan theta equals 1 half ke f left parenthesis theta right parenthesis equals 5 plus 4 tanθ plus cotθ

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight theta right parenthesis end cell equals cell 5 plus 4 tanθ plus cotθ end cell row cell straight f open parentheses straight theta close parentheses end cell equals cell 5 plus 4 open parentheses 1 half close parentheses plus 1 over tanθ end cell row blank equals cell 5 plus 4 open parentheses 1 half close parentheses plus fraction numerator 1 over denominator begin display style 1 half end style end fraction end cell row blank equals cell 5 plus 4 over 2 plus 2 end cell row blank equals cell 5 plus 2 plus 2 end cell row blank equals cell 9 space left parenthesis terbukti right parenthesis end cell end table$

Jadi, panjang OA plus OB equals 5 plus 4 tanθ plus cotθ terbukti dan nilai minimum bagi adalah terbukti.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (3 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui fungsi f dinyatakan oleh f ( x ) = cotan 5 2 x . Turunan pertama dari f yaitu f'. Tentukan : a. bentuk f ( x ) b. nilai f ( 6 π )

3.0

Jawaban terverifikasi

Turunan fungsi f ( x ) = 4 cos x + cotan x adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi

7. Jika f ( x ) = x 2 cot x maka f ( 4 1 π ) = ...

3.4

Jawaban terverifikasi

Persamaan garis singgungkurva y = 2 1 cot x pada titik yang berabsis x = 4 π adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan turunan pertama dari fungsi - fungsi berikut. a. f ( x ) = cos ( x 2 − 3 x + 9 ) b. g ( x ) = 3 sec ( 5 x + 1 ) − tan ( 2 x + 7 ) c. h ( x ) = cotan ( x − 6 ) + sin ( x 2 − x + 1 )

5.0

Jawaban terverifikasi