Pertanyaan

Pada gambar berikut, OABC adalah bangun geometri segi empat. Titik-titik P dan Q adalah titik-titik tengah ruas garis OB dan ruas garis AC . Tunjukkan bahwa OA + OC + BA + BC = 4 PQ .

Pada gambar berikut, $OABC$ adalah bangun geometri segi empat. Titik-titik $P$ dan $Q$ adalah titik-titik tengah ruas garis $OB$ dan ruas garis $AC$ .

Tunjukkan bahwa $OA + OC + BA + BC = 4 PQ$ .

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

pembuktianbahwa OA + OC + BA + BC = 4 PQ telah diuraikan di atas.

pembuktian bahwa

OA + OC + BA + BC = 4 PQ

telah diuraikan di atas.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut ada pada uraiandi bawah bahwa OA → + OC → + BA → + BC → = 4 PQ → . Misalkan vektor-vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b . Titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n , maka vektor posisi C adalah c ditentukan dengan rumus: c = m + n m b + n a Penyelesaian: Misalkan vektor-vektor posisi titik A , titik B , dan titik C berturut-turut adalah a , b , dan c . Diperoleh persamaan (1) berikut. OA + OC + BA + BC OA + OC + BA + BC = = a + c + ( a − b ) + ( c − b ) 2 ( a − b + c ) Vektor posisi titik P diwakili oleh ruas garis berarah OP . OP = 2 1 OB = 2 1 b sebab titik P merupakan titik tengah OB . Vektor posisi titik Q diwakili oleh ruas garis berarah OQ OQ = 2 1 ( a + c ) sebab titik Q merupakan titik tengah AC . Dengan menggunakan segitiga OPQ pada gambar, diperoleh hubungan persamaan (2) berikut. OP + PQ PQ PQ PQ 2 ( a − b + c ) = = = = = OQ OQ − OP 2 1 ( a + c ) − 2 1 b 2 1 ( a − b + c ) 4 PQ Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh hubungan: OA + OC + BA + BC = = 2 ( a − b + c ) 4 PQ Jadi, terbukti bahwa OA + OC + BA + BC = 4 PQ Dengan demikian, pembuktianbahwa OA + OC + BA + BC = 4 PQ telah diuraikan di atas.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut ada pada uraian di bawah bahwa $OA \to + OC \to + BA \to + BC \to = 4 PQ \to$ .

Misalkan vektor-vektor posisi titik $A$ dan titik $B$ berturut-turut adalah $a$ dan $b$ . Titik $C$ terletak pada ruas garis $AB$ dengan perbandingan $AC : CB = m : n$ , maka vektor posisi $C$ adalah $c$ ditentukan dengan rumus:

$c = \frac{m b + n a}{m + n}$

Penyelesaian:

Misalkan vektor-vektor posisi titik $A$ , titik $B$ , dan titik $C$ berturut-turut adalah $a$ , $b$ , dan $c$ . Diperoleh persamaan (1) berikut.

$OA + OC + BA + BC OA + OC + BA + BC = = a + c + (a - b) + (c - b) 2 (a - b + c)$

Vektor posisi titik $P$ diwakili oleh ruas garis berarah $OP$ .

$OP = \frac{1}{2} OB = \frac{1}{2} b$

sebab titik $P$ merupakan titik tengah $OB$ .

Vektor posisi titik $Q$ diwakili oleh ruas garis berarah $OQ$

$OQ = \frac{1}{2} (a + c)$

sebab titik $Q$ merupakan titik tengah $AC$ .

Dengan menggunakan segitiga $OPQ$ pada gambar, diperoleh hubungan persamaan (2) berikut.

$OP + PQ PQ PQ PQ 2 (a - b + c) = = = = = OQ OQ - OP \frac{1}{2} (a + c) - \frac{1}{2} b \frac{1}{2} (a - b + c) 4 PQ$

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh hubungan:

$OA + OC + BA + BC = = 2 (a - b + c) 4 PQ$

Jadi, terbukti bahwa $OA + OC + BA + BC = 4 PQ$

Dengan demikian, pembuktian bahwa $OA + OC + BA + BC = 4 PQ$ telah diuraikan di atas.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui koordinat titik A ( 5 , 4 ) dan koordinat titik B ( 10 , − 6 ) . Titik P berada di antara ruas garis AB dengan perbandingan AP : PB = 4 : 1 . Tentukan koordinat titik P .

3.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui koordinat titik A ( 5 , 4 ) dan koordinat titik B ( 10 , − 6 ) . Titik P berada di antara ruas garis AB dengan perbandingan AP : PB = 4 : 1 . Tentukan koordinat titik P .

3.0

Jawaban terverifikasi

Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b . Titik C dan titik D pada ruas garis AB sehingga AC : CB = 1 : 2 dan AD : DB = 3 : − 1 . a. Tentukan vektor posisi titik C . b. T...

4.5

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A ( 2 , − 3 , 4 ) , B ( 5 , 0 , 1 ) dan C ( 4 , 2 , 5 ) . Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3 . Panjang vektor PC adalah ....

136

4.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 3 , 4 , − 12 ) , B ( 6 , 4 , 3 ) , dan C ( 2 , 1 , − 1 ) . Titik P membagi AB sehingga AP:PB=2:1 , maka vektor yang diwakili PC adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi