Pertanyaan

Nilai minimum fungsi f ( x ) = sin 2 x − cos 2 x untuk 0 ≤ x ≤ π adalah ....

Nilai minimum fungsi $f (x) = sin 2 x - cos 2 x$ untuk $0 \leq x \leq π$ adalah ....

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Nuryani

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Padjadjaran

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Nilai minimum pada fungsi trigonometri dapat dicari dengan menggunakan konsep turunan. Jika dan , titik disebut titik minimum fungai dengan sebagai nilai minimum. Berdasarkan hal tersebut, maka titik minimum fungsi trigonometri adalah: Solusi dari persamaan di atas adalah: Solusi adalah , selanjutnya substitusi nilai pada fungsi : Karena yang ditanyakan nilai minimum, maka pilih nilai yang kecil yaitu . Dengan demikian, nilai minimum fungsi adalah . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Nilai minimum pada fungsi trigonometri dapat dicari dengan menggunakan konsep turunan. Jika f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 dan f apostrophe apostrophe open parentheses x close parentheses greater than 0 , titik open parentheses x subscript 1 comma space f open parentheses x subscript 1 close parentheses close parentheses disebut titik minimum fungai dengan sebagai nilai minimum.

Berdasarkan hal tersebut, maka titik minimum fungsi trigonometri f left parenthesis x right parenthesis equals sin space 2 x minus cos space 2 x adalah:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals 0 row cell 2 space cos space 2 x plus 2 space sin space 2 x end cell equals 0 row cell 2 open parentheses cos space 2 x plus sin space 2 x close parentheses end cell equals 0 row cell cos space 2 x plus sin space 2 x end cell equals 0 row cell fraction numerator 1 over denominator cos space 2 x end fraction open parentheses cos space 2 x plus sin space 2 x close parentheses end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator cos space 2 x end fraction times 0 end cell row cell 1 plus fraction numerator sin space 2 x over denominator cos space 2 x end fraction end cell equals 0 row cell 1 plus tan space 2 x end cell equals 0 row cell tan space 2 x end cell equals cell negative 1 end cell row cell tan space 2 x end cell equals cell tan space fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction end cell end table$

Solusi dari persamaan di atas adalah:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x end cell equals cell fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction plus k times straight pi end cell row straight x equals cell fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction plus straight k times straight pi over 2 end cell row cell untuk space straight k end cell equals cell 0 space rightwards arrow space straight x equals fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction end cell row cell untuk space straight k end cell equals cell 1 space rightwards arrow space straight x equals fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction plus straight pi over 2 equals fraction numerator 7 straight pi over denominator 8 end fraction end cell row cell untuk space straight k end cell equals cell 2 space rightwards arrow space straight x equals fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction plus straight pi space left parenthesis tidak space memenuhi right parenthesis end cell end table$

Solusi adalah $open curly brackets fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction comma space fraction numerator 7 straight pi over denominator 8 end fraction close curly brackets$ , selanjutnya substitusi nilai pada fungsi f left parenthesis x right parenthesis :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses end cell equals cell sin space 2 open parentheses fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses minus cos space 2 open parentheses fraction numerator 3 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell sin space open parentheses fraction numerator 6 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses minus cos space open parentheses fraction numerator 6 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction minus open parentheses negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction plus fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell square root of 2 end cell end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses fraction numerator 7 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses end cell equals cell sin space 2 open parentheses fraction numerator 7 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses minus cos space 2 open parentheses fraction numerator 7 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell sin space open parentheses fraction numerator 14 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses minus cos space open parentheses fraction numerator 14 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction minus open parentheses fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell negative up diagonal strike 2 fraction numerator square root of 2 over denominator up diagonal strike 2 end fraction end cell row blank equals cell negative square root of 2 end cell end table$

Karena yang ditanyakan nilai minimum, maka pilih nilai yang kecil yaitu $f open parentheses fraction numerator 7 straight pi over denominator 8 end fraction close parentheses equals negative square root of 2$ .

Dengan demikian, nilai minimum fungsi f left parenthesis x right parenthesis equals sin space 2 x minus cos space 2 x adalah negative square root of 2 .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.