Misalkan titik A dan B pada lingkaran x2+y2−6x−2y+k=0 sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C(8, 1). Jika luas segi empat yang melalui A, B, C, dan pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka nilai k=....

Pertanyaan

Misalkan titik straight A dan straight B pada lingkaran x squared plus y squared minus 6 x minus 2 y plus k equals 0 sehingga garis singgung lingkaran di titik straight A dan straight B berpotongan di straight C left parenthesis 8 comma space 1 right parenthesis. Jika luas segi empat yang melalui straight A comma space straight B comma space straight C, dan pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka nilai k equals....

  1. negative 1

  2. 0

  3. 1

  4. 2

  5. 3

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Ingat!

  • Lingkaran dengan persamaan straight L subscript 2 identical to x squared plus y squared plus A x plus B y plus C equals 0 berpusat di titik open parentheses negative 1 half A comma space minus 1 half B close parentheses dan berjari-jari r equals square root of 1 fourth A squared plus 1 fourth B squared minus C end root.

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh:

Lingkaran x squared plus y squared minus 6 x minus 2 y plus k equals 0 berpusat di titik open parentheses negative 1 half A comma space minus 1 half B close parentheses equals open parentheses negative 1 half open parentheses negative 6 close parentheses comma space minus 1 half times open parentheses negative 2 close parentheses close parentheses equals open parentheses 3 comma space 1 close parentheses dengan jari-jari

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row r equals cell square root of 1 fourth A squared plus 1 fourth B squared minus C end root end cell row blank equals cell square root of 1 fourth open parentheses negative 6 close parentheses squared plus 1 fourth open parentheses negative 2 close parentheses squared minus k end root end cell row blank equals cell square root of 1 fourth times 36 plus 1 fourth times 4 minus k end root end cell row blank equals cell square root of 9 plus 1 minus k end root end cell row blank equals cell square root of 10 minus k end root end cell end table

Kita namakan titik pusat lingkaran adalah titik straight M open parentheses 3 comma space 1 close parentheses.

Jarak titik pusat straight M open parentheses 3 comma space 1 close parentheses dengan titik straight C left parenthesis 8 comma space 1 right parenthesis yaitu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row MC equals cell square root of open parentheses straight x subscript 2 minus straight x subscript 1 close parentheses squared plus open parentheses straight y subscript 2 minus straight y subscript 1 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses 8 minus 3 close parentheses squared plus open parentheses 1 minus 1 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 5 squared plus 0 end root end cell row blank equals cell square root of 25 end cell row blank equals 5 end table

Pada soal di atas, diketahui luas segi empat yang melalui straight A comma space straight B comma space straight C, dan pusat lingkaran straight M open parentheses 3 comma space 1 close parentheses adalah 12 satuan luas. Segiempat yang terbentuk merupakan layan-layang AMBC, sehingga

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space triangle MBC end cell equals cell Luas space triangle MAC end cell row blank equals cell 1 half cross times Luas space AMBC end cell row blank equals cell 1 half cross times 12 end cell row blank equals 6 end table 

Bentuk table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell triangle MBC end cell end table adalah segitiga siku-siku karena garis singgung BC perpendicular MB yang merupakan jari-jari lingkaran.

Dengan demikian, luas table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell triangle MBC end cell end table dapat ditulis dengan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space triangle MBC end cell equals cell 1 half cross times alas cross times tinggi end cell row 6 equals cell 1 half cross times BC cross times MB end cell row 6 equals cell 1 half cross times BC cross times straight r end cell row cell 6 cross times 2 end cell equals cell BC cross times straight r end cell row cell BC cross times straight r end cell equals 12 row BC equals cell 12 over straight r end cell end table

Karena table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell triangle MBC end cell end table adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Pythagoras yaitu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell MC squared end cell equals cell MB squared plus BC squared end cell row cell 5 squared end cell equals cell straight r squared plus BC squared end cell row 25 equals cell straight r squared plus BC squared end cell end table

Substitusikan table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row BC equals cell 12 over straight r end cell end table ke persamaan table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 25 equals cell straight r squared plus BC squared end cell end table hasilnya adalah

25 equals straight r squared plus BC squared 25 equals straight r squared plus open parentheses 12 over straight r close parentheses squared 25 equals straight r squared plus 144 over straight r squared 25 equals straight r to the power of 4 over straight r squared plus 144 over straight r squared 25 equals fraction numerator straight r to the power of 4 plus 144 over denominator straight r squared end fraction 25 straight r squared equals straight r to the power of 4 plus 144 straight r to the power of 4 plus 144 minus 25 straight r squared equals 0 straight r to the power of 4 minus 25 straight r squared plus 144 equals 0 open parentheses Faktorkan close parentheses open parentheses straight r squared minus 16 close parentheses open parentheses straight r squared minus 9 close parentheses equals 0 straight r squared equals 16 left right double arrow straight r equals open vertical bar square root of 16 close vertical bar equals 4 atau straight r squared equals 9 left right double arrow straight r equals open vertical bar square root of 9 close vertical bar equals 3

Untuk straight r equals 3 maka

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row r equals cell square root of 10 minus k end root end cell row 3 equals cell square root of 10 minus k end root end cell row blank blank cell open parentheses Kuadratkan space kedua space ruas close parentheses end cell row 9 equals cell 10 minus k end cell row k equals cell 10 minus 9 end cell row k equals 1 end table

Untuk straight r equals 4 maka

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row r equals cell square root of 10 minus k end root end cell row 4 equals cell square root of 10 minus k end root end cell row blank blank cell open parentheses Kuadratkan space kedua space ruas close parentheses end cell row 16 equals cell 10 minus k end cell row k equals cell 10 minus 16 end cell row k equals cell negative 6 end cell end table

Jadi, nilai k equals 1 atau k equals negative 6.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

33

5.0 (3 rating)

Pertanyaan serupa

Jika lingkaran x2+y2+px−y−1=0 melalui titik A(−1, 2) , maka salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran di A adalah ....

50

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia