Pertanyaan

Misalkan titik A dan B pada lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + k = 0 sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C ( 8 , 1 ) . Jika luas segi empat yang melalui A , B , C , dan pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka nilai k = ....

Misalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C (8, 1)$ . Jika luas segi empat yang melalui $A, B, C$ , dan pusat lingkaran adalah $12$ satuan luas, maka nilai $k = ....$

$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Ingat! Lingkaran dengan persamaan L 2 ≡ x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di titik ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dan berjari-jari r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C . Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh: Lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + k = 0 berpusat di titik ( − 2 1 A , − 2 1 B ) = ( − 2 1 ( − 6 ) , − 2 1 ⋅ ( − 2 ) ) = ( 3 , 1 ) dengan jari-jari r = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( − 6 ) 2 + 4 1 ( − 2 ) 2 − k 4 1 ⋅ 36 + 4 1 ⋅ 4 − k 9 + 1 − k 10 − k Kita namakan titik pusat lingkaran adalah titik M ( 3 , 1 ) . Jarak titik pusat M ( 3 , 1 ) dengan titik C ( 8 , 1 ) yaitu MC = = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( 8 − 3 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 5 2 + 0 25 5 Pada soal di atas, diketahuiluas segi empat yang melalui A , B , C , dan pusat lingkaran M ( 3 , 1 ) adalah 12 satuan luas. Segiempat yang terbentuk merupakan layan-layang AMBC , sehingga Luas △ MBC = = = = Luas △ MAC 2 1 × Luas AMBC 2 1 × 12 6 Bentuk △ MBC adalah segitiga siku-siku karena garis singgung BC ⊥ MB yang merupakan jari-jari lingkaran. Dengan demikian, luas △ MBC dapat ditulis dengan Luas △ MBC 6 6 6 × 2 BC × r BC = = = = = = 2 1 × alas × tinggi 2 1 × BC × MB 2 1 × BC × r BC × r 12 r 12 Karena △ MBC adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Pythagoras yaitu MC 2 5 2 25 = = = MB 2 + BC 2 r 2 + BC 2 r 2 + BC 2 Substitusikan BC = r 12 ke persamaan 25 = r 2 + BC 2 hasilnya adalah 25 = r 2 + BC 2 25 = r 2 + ( r 12 ) 2 25 = r 2 + r 2 144 25 = r 2 r 4 + r 2 144 25 = r 2 r 4 + 144 25 r 2 = r 4 + 144 r 4 + 144 − 25 r 2 = 0 r 4 − 25 r 2 + 144 = 0 ( Faktorkan ) ( r 2 − 16 ) ( r 2 − 9 ) = 0 r 2 = 16 ⇔ r = ∣ ∣ 16 ∣ ∣ = 4 atau r 2 = 9 ⇔ r = ∣ ∣ 9 ∣ ∣ = 3 Untuk r = 3 maka r 3 9 k k = = = = = 10 − k 10 − k ( Kuadratkan kedua ruas ) 10 − k 10 − 9 1 Untuk r = 4 maka r 4 16 k k = = = = = 10 − k 10 − k ( Kuadratkan kedua ruas ) 10 − k 10 − 16 − 6 Jadi, nilai k = 1 atau k = − 6 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Ingat!

Lingkaran dengan persamaan $L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di titik $(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dan berjari-jari $r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$ .

Berdasarkan rumus di atas, maka diperoleh:

Lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + k = 0$ berpusat di titik $(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) = (- \frac{1}{2} (- 6), - \frac{1}{2} \cdot (- 2)) = (3, 1)$ dengan jari-jari

$r = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (- 6)^{2} + \frac{1}{4} (- 2)^{2} - k \frac{1}{4} \cdot 36 + \frac{1}{4} \cdot 4 - k 9 + 1 - k 10 - k$

Kita namakan titik pusat lingkaran adalah titik $M (3, 1)$ .

Jarak titik pusat $M (3, 1)$ dengan titik $C (8, 1)$ yaitu

$MC = = = = = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} (8 - 3)^{2} + (1 - 1)^{2} 5^{2} + 0 255$

Pada soal di atas, diketahui luas segi empat yang melalui $A, B, C$ , dan pusat lingkaran $M (3, 1)$ adalah $12$ satuan luas. Segiempat yang terbentuk merupakan layan-layang $AMBC$ , sehingga

$Luas △ MBC = = = = Luas △ MAC \frac{1}{2} \times Luas AMBC \frac{1}{2} \times 12 6$

Bentuk $△ MBC$ adalah segitiga siku-siku karena garis singgung $BC ⊥ MB$ yang merupakan jari-jari lingkaran.

Dengan demikian, luas $△ MBC$ dapat ditulis dengan

$Luas △ MBC 66 6 \times 2 BC \times r BC = = = = = = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi \frac{1}{2} \times BC \times MB \frac{1}{2} \times BC \times r BC \times r 12 \frac{12}{r}$

Karena $△ MBC$ adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Pythagoras yaitu

$MC^{2} 5^{2} 25 = = = MB^{2} + BC^{2} r^{2} + BC^{2} r^{2} + BC^{2}$

Substitusikan $BC = \frac{12}{r}$ ke persamaan $25 = r^{2} + BC^{2}$ hasilnya adalah

$25 = r^{2} + BC^{2} 25 = r^{2} + (\frac{12}{r})^{2} 25 = r^{2} + \frac{144}{r ^{2}} 25 = \frac{r ^{4}}{r ^{2}} + \frac{144}{r ^{2}} 25 = \frac{r ^{4} + 144}{r ^{2}} 25 r^{2} = r^{4} + 144 r^{4} + 144 - 25 r^{2} = 0 r^{4} - 25 r^{2} + 144 = 0 (Faktorkan) (r^{2} - 16) (r^{2} - 9) = 0 r^{2} = 16 \Leftrightarrow r = ∣ ∣ 16 ∣ ∣ = 4 atau r^{2} = 9 \Leftrightarrow r = ∣ ∣ 9 ∣ ∣ = 3$