Pertanyaan

Misalkan x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaaan kuadrat x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) = 0 dan kedua akar tersebut adalah bilangan bulat dengan k suatu konstanta . x 1 , k , x 2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama barisan geometri tersebut adalah...

Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaaan kuadrat $x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) = 0$ dan kedua akar tersebut adalah bilangan bulat dengan $k$ suatu konstanta. $x_{1}, k, x_{2}$ merupakan $3$ suku pertama barisan geometri, maka jumlah $n$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah...

$\frac{1}{2} (- 1)^{n} - \frac{1}{2}$
$- (- 1)^{n}$
$\frac{1}{2} (- 1)^{n} + \frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2} (- 1)^{n} - \frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2} (- 1)^{n} + \frac{1}{2}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

M. Nasrullah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Makassar

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E

Pembahasan

Ingat kembali: Dari persamaan kuadrat x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) = 0 , diketahui a = 1 , b = − 2 ( 2 k 2 − k − 1 ) , c = 3 k + 4 . Dengan rumus hasil kali akar diperoleh: x 1 ⋅ x 2 x 1 ⋅ x 2 = = = a c 1 ( 3 k + 4 ) 3 k + 4... ( 1 ) JIka x 1 , k , x 2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka: ( U 2 ) 2 k 2 = = U 1 ⋅ U 3 x 1 ⋅ x 2 ... ( 2 ) Subtitusi persamaan 1 ke persamaan 2: x 1 ⋅ x 2 k 2 k 2 − 3 k − 4 ( k + 1 ) ( k − 4 ) = = = = 3 k + 4 3 k + 4 0 0 k = − 1 atau k = 4 Untuk k = 4 : x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) x 2 − ( 2 ⋅ 4 2 − 4 − 1 ) x + ( 3 ⋅ 4 + 4 ) x 2 − 27 x + 16 = = = 0 0 0 Karena susah untuk difaktorkan, maka kita cek menggunakan diskriminan: D = = = b 2 − 4 a c ( − 27 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 16 ) 655 Karena nilai diskriminan bukan bilangan kudrat, maka akar-akarnya bukan bilangan bulat, sehingga tidak memenuhi syarat. Untuk k = 1 , maka: x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) x 2 − ( 2 ⋅ 1 2 − 1 − 1 ) x + ( 3 ⋅ 1 + 4 ) x 2 − 2 x + 1 ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x − 1 ) 2 x 1 = = = = = = 0 0 0 0 0 x 2 = 1 Sehingga, dengan menyubstitusikan nilai tersebut diperoleh: k 2 k 2 k 2 k 2 − 1 ( k − 1 ) ( k + 1 ) k = = = = = = x 1 ⋅ x 2 1 ⋅ 1 1 0 0 1 atau k = − 1 Kita pilih k = 1 karena pilihan jawaban semua mengadung unsur ( − 1 ) . Sehingga barisan yang dimaksud: 1 , − 1 , 1 , − 1.... sehinggam dengan menggunakan rumus jumlah suku ke- n , maka: a r = = = = 1 , − 1 , 1 , − 1.... 1 , U 1 U 2 − 1 − 1 S n = = = = r − 1 a ( r n − 1 ) ( − 1 ) − 1 1 ( ( − 1 ) n − 1 ) − 2 ( ( − 1 ) n − 1 ) − 2 ( − 1 ) n + 2 1 Dengan demikian, jumlah n suku pertama barisan geometri tersebut adalah − 2 ( − 1 ) n + 2 1 . Jadi, jawaban yang tepat adalah E

Ingat kembali:

Dari persamaan kuadrat $x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) = 0$ , diketahui $a = 1$ , $b = - 2 (2 k^{2} - k - 1)$ , $c = 3 k + 4$ .

Dengan rumus hasil kali akar diperoleh:

$x_{1} \cdot x_{2} x_{1} \cdot x_{2} = = = \frac{c}{a} \frac{( 3 k + 4 )}{1} 3 k + 4... (1)$

JIka $x_{1}, k, x_{2}$ merupakan $3$ suku pertama barisan geometri, maka:

$(U_{2})^{2} k^{2} = = U_{1} \cdot U_{3} x_{1} \cdot x_{2} ... (2)$

Subtitusi persamaan 1 ke persamaan 2:

$x_{1} \cdot x_{2} k^{2} k^{2} - 3 k - 4 (k + 1) (k - 4) = = = = 3 k + 4 3 k + 4 00 k = - 1 atau k = 4$

Untuk $k = 4$ :

$x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) x^{2} - (2 \cdot 4^{2} - 4 - 1) x + (3 \cdot 4 + 4) x^{2} - 27 x + 16 = = = 000$

Karena susah untuk difaktorkan, maka kita cek menggunakan diskriminan:

$D = = = b^{2} - 4 a c (- 27)^{2} - 4 (1) (16) 655$

Karena nilai diskriminan bukan bilangan kudrat, maka akar-akarnya bukan bilangan bulat, sehingga tidak memenuhi syarat.

Untuk $k = 1$ , maka:

$x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) x^{2} - (2 \cdot 1^{2} - 1 - 1) x + (3 \cdot 1 + 4) x^{2} - 2 x + 1 (x - 1) (x - 1) (x - 1)^{2} x_{1} = = = = = = 00000 x_{2} = 1$

Sehingga, dengan menyubstitusikan nilai tersebut diperoleh:

$k^{2} k^{2} k^{2} k^{2} - 1 (k - 1) (k + 1) k = = = = = = x_{1} \cdot x_{2} 1 \cdot 1 100 1 atau k = - 1$

Kita pilih $k = 1$ karena pilihan jawaban semua mengadung unsur $(- 1)$ . Sehingga barisan yang dimaksud:

$1, - 1, 1, - 1....$

sehinggam dengan menggunakan rumus jumlah suku ke- $n$ , maka:

$a r = = = = 1, - 1, 1, - 1.... 1, \frac{U _{2}}{U _{1}} - 1 - 1$

$S_{n} = = = = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} \frac{1 ( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{( - 1 ) - 1} \frac{( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{- 2} - \frac{( - 1 ) ^{n}}{2} + \frac{1}{2}$

Dengan demikian, jumlah $n$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $- \frac{( - 1 ) ^{n}}{2} + \frac{1}{2}$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah E

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jika x 1 , x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 − ( 3 k + 5 ) x + 2 k + 3 = 0 dan x 1 , k , x 2 merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio r  = 1 , dan r  = ...

5.0

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika − 2 , a + 3 , a − 1 membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin adalah ... (SBMPTN 2018)

5.0

Jawaban terverifikasi

adalah solusi dari persamaan x 7 − 3 = 0 , maka nilai dari ( p − 1 ) ( p 14 + p 15 + p 16 + ⋯ + p 41 ) adalah …

129

4.6

Jawaban terverifikasi

Bentuk deret geometri bilangan 8 , 888888 adalah ...