Pertanyaan

Misalkan x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaaan kuadrat x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) = 0 dan kedua akar tersebut adalah bilangan bulat dengan k suatu konstanta . x 1 , k , x 2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama barisan geometri tersebut adalah...

Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaaan kuadrat $x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) = 0$ dan kedua akar tersebut adalah bilangan bulat dengan $k$ suatu konstanta. $x_{1}, k, x_{2}$ merupakan $3$ suku pertama barisan geometri, maka jumlah $n$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah...

$\frac{1}{2} (- 1)^{n} - \frac{1}{2}$
$- (- 1)^{n}$
$\frac{1}{2} (- 1)^{n} + \frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2} (- 1)^{n} - \frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2} (- 1)^{n} + \frac{1}{2}$

M. Nasrullah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Makassar

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E

Pembahasan

Ingat kembali: Dari persamaan kuadrat x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) = 0 , diketahui a = 1 , b = − 2 ( 2 k 2 − k − 1 ) , c = 3 k + 4 . Dengan rumus hasil kali akar diperoleh: x 1 ⋅ x 2 x 1 ⋅ x 2 = = = a c 1 ( 3 k + 4 ) 3 k + 4... ( 1 ) JIka x 1 , k , x 2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka: ( U 2 ) 2 k 2 = = U 1 ⋅ U 3 x 1 ⋅ x 2 ... ( 2 ) Subtitusi persamaan 1 ke persamaan 2: x 1 ⋅ x 2 k 2 k 2 − 3 k − 4 ( k + 1 ) ( k − 4 ) = = = = 3 k + 4 3 k + 4 0 0 k = − 1 atau k = 4 Untuk k = 4 : x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) x 2 − ( 2 ⋅ 4 2 − 4 − 1 ) x + ( 3 ⋅ 4 + 4 ) x 2 − 27 x + 16 = = = 0 0 0 Karena susah untuk difaktorkan, maka kita cek menggunakan diskriminan: D = = = b 2 − 4 a c ( − 27 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 16 ) 655 Karena nilai diskriminan bukan bilangan kudrat, maka akar-akarnya bukan bilangan bulat, sehingga tidak memenuhi syarat. Untuk k = 1 , maka: x 2 − ( 2 k 2 − k − 1 ) x + ( 3 k + 4 ) x 2 − ( 2 ⋅ 1 2 − 1 − 1 ) x + ( 3 ⋅ 1 + 4 ) x 2 − 2 x + 1 ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x − 1 ) 2 x 1 = = = = = = 0 0 0 0 0 x 2 = 1 Sehingga, dengan menyubstitusikan nilai tersebut diperoleh: k 2 k 2 k 2 k 2 − 1 ( k − 1 ) ( k + 1 ) k = = = = = = x 1 ⋅ x 2 1 ⋅ 1 1 0 0 1 atau k = − 1 Kita pilih k = 1 karena pilihan jawaban semua mengadung unsur ( − 1 ) . Sehingga barisan yang dimaksud: 1 , − 1 , 1 , − 1.... sehinggam dengan menggunakan rumus jumlah suku ke- n , maka: a r = = = = 1 , − 1 , 1 , − 1.... 1 , U 1 U 2 − 1 − 1 S n = = = = r − 1 a ( r n − 1 ) ( − 1 ) − 1 1 ( ( − 1 ) n − 1 ) − 2 ( ( − 1 ) n − 1 ) − 2 ( − 1 ) n + 2 1 Dengan demikian, jumlah n suku pertama barisan geometri tersebut adalah − 2 ( − 1 ) n + 2 1 . Jadi, jawaban yang tepat adalah E

Ingat kembali:

Dari persamaan kuadrat $x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) = 0$ , diketahui $a = 1$ , $b = - 2 (2 k^{2} - k - 1)$ , $c = 3 k + 4$ .

Dengan rumus hasil kali akar diperoleh:

$x_{1} \cdot x_{2} x_{1} \cdot x_{2} = = = \frac{c}{a} \frac{( 3 k + 4 )}{1} 3 k + 4... (1)$

JIka $x_{1}, k, x_{2}$ merupakan $3$ suku pertama barisan geometri, maka:

$(U_{2})^{2} k^{2} = = U_{1} \cdot U_{3} x_{1} \cdot x_{2} ... (2)$

Subtitusi persamaan 1 ke persamaan 2:

$x_{1} \cdot x_{2} k^{2} k^{2} - 3 k - 4 (k + 1) (k - 4) = = = = 3 k + 4 3 k + 4 00 k = - 1 atau k = 4$

Untuk $k = 4$ :

$x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) x^{2} - (2 \cdot 4^{2} - 4 - 1) x + (3 \cdot 4 + 4) x^{2} - 27 x + 16 = = = 000$

Karena susah untuk difaktorkan, maka kita cek menggunakan diskriminan:

$D = = = b^{2} - 4 a c (- 27)^{2} - 4 (1) (16) 655$

Karena nilai diskriminan bukan bilangan kudrat, maka akar-akarnya bukan bilangan bulat, sehingga tidak memenuhi syarat.

Untuk $k = 1$ , maka:

$x^{2} - (2 k^{2} - k - 1) x + (3 k + 4) x^{2} - (2 \cdot 1^{2} - 1 - 1) x + (3 \cdot 1 + 4) x^{2} - 2 x + 1 (x - 1) (x - 1) (x - 1)^{2} x_{1} = = = = = = 00000 x_{2} = 1$

Sehingga, dengan menyubstitusikan nilai tersebut diperoleh:

$k^{2} k^{2} k^{2} k^{2} - 1 (k - 1) (k + 1) k = = = = = = x_{1} \cdot x_{2} 1 \cdot 1 100 1 atau k = - 1$

Kita pilih $k = 1$ karena pilihan jawaban semua mengadung unsur $(- 1)$ . Sehingga barisan yang dimaksud:

$1, - 1, 1, - 1....$

sehinggam dengan menggunakan rumus jumlah suku ke- $n$ , maka:

$a r = = = = 1, - 1, 1, - 1.... 1, \frac{U _{2}}{U _{1}} - 1 - 1$

$S_{n} = = = = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} \frac{1 ( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{( - 1 ) - 1} \frac{( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{- 2} - \frac{( - 1 ) ^{n}}{2} + \frac{1}{2}$

Dengan demikian, jumlah $n$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $- \frac{( - 1 ) ^{n}}{2} + \frac{1}{2}$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah E

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jika x 1 , x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 − ( 3 k + 5 ) x + 2 k + 3 = 0 dan x 1 , k , x 2 merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio r  = 1 , dan r  = ...

0.0

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika − 2 , a + 3 , a − 1 membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin adalah ... (SBMPTN 2018)

5.0

Jawaban terverifikasi

adalah solusi dari persamaan x 7 − 3 = 0 , maka nilai dari ( p − 1 ) ( p 14 + p 15 + p 16 + ⋯ + p 41 ) adalah …

733

4.6

Jawaban terverifikasi

Bentuk deret geometri bilangan 8 , 888888 adalah ...