Roboguru

Lukislah daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari setiap sistem pertidaksamaan kuadrat berikut. 3. ⎩⎨⎧​y≤3yx+3y≥2​

Pertanyaan

Lukislah daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari setiap sistem pertidaksamaan kuadrat berikut.

3. open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y less or equal than 3 end cell row cell y less than 9 minus x squared end cell row cell y greater than x plus 3 end cell row cell y greater or equal than 2 end cell end table close   

Pembahasan Soal:

Cari DHP dari y less or equal than 3 

garis pembatas dari y less or equal than 3 adalah y equals 3 

cari DHP dengan uji titik 

untuk left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis 

y less or equal than 3 0 less or equal than 3 space left parenthesis benar right parenthesis 

karena titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis benar maka daerah yang terdapat titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis merupakan DHP dari y less or equal than 3

Selanjutnya cari DHP dari y less than 9 minus x squared 

kurva pembatas dari y less than 9 minus x squared adalah y equals 9 minus x squared 

Cari titik potong sumbu x space dan space y 

jika x equals 0 maka y equals 9 comma space left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis 0 comma space 9 right parenthesis  

jika y equals 0 maka x equals 3 space atau space minus 3left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis 3 comma space 0 right parenthesis space dan space left parenthesis negative 3 comma space 0 right parenthesis  

Untuk mengetahui DHP lakukan uji titik

untuk left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis 

y less than 9 minus x squared 0 less than 9 minus 0 squared 0 less than 9 space left parenthesis benar right parenthesis 

karena titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis benar maka daerah yang terdapat titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis merupakan DHP dari y less than 9 minus x squared 

Selanjutnya cari DHP dari y greater than x plus 3 

garis pembatas dari y greater than x plus 3 adalah y equals x plus 3 

cari titik potong sumbu x space dan space y 

jika x equals 0 maka y equals 3 comma space left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis 0 comma space 3 right parenthesis 

jika y equals 0 maka x equals negative 3 comma space left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis negative 3 comma space 0 right parenthesis 

Untuk mengetahui DHP lakukan uji titik

untuk left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis 

y greater than x plus 3 0 greater than 0 plus 3 0 greater than 3 space left parenthesis salah right parenthesis 

karena titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis salah maka daerah yang terdapat titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis bukan merupakan DHP dari y greater than x plus 3 

Selanjutnya cari DHP dari y greater or equal than 2 

Garis pembatas dari y greater or equal than 2 adalah y equals 2 

Untuk mengetahui DHP lakukan uji titik

untuk left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis 

y greater or equal than 2 0 greater or equal than 2 

karena titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis salah maka daerah yang terdapat titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis bukan merupakan DHP dari y greater or equal than 2

DHP dari open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y less or equal than 3 end cell row cell y less than 9 minus x squared end cell row cell y greater than x plus 3 end cell row cell y greater or equal than 2 end cell end table close adalah irisan dari DHP y less or equal than 3, DHP y less than 9 minus x squared, DHP y greater than x plus 3, dan DHP y greater or equal than 2

Jadi, DHP dari open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y less or equal than 3 end cell row cell y less than 9 minus x squared end cell row cell y greater than x plus 3 end cell row cell y greater or equal than 2 end cell end table close yaitu

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Arsirlah himpunan penyelesaian dari masing-masing sistem pertidaksamaan berikut pada sistem koordinat Cartesius. y≤x2−5x−6;x≥0danx+2y≤4

Pembahasan Soal:

Untuk mencari penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yx25x6;x0danx+2y4 pada sistem koordinat Cartesius, berikut ini langkah-langkahnya:

  • Gambar grafik yx25x6

Grafik y=x25x6 adalah kurva berbentuk parabola dengan titik potong terhadap sumbu X jika y=0 sehingga

y0x25x6(x6)(x+1)x1=====x25x6x25x6006danx2=1

Jadi, parabola y=x25x6 berpotongan dengan sumbu X di titik (1,0) dan (6,0).

Selanjutnya, titik potong terhadap sumbu Y jika x=0 sehingga y=x25x6=02506=6.Jadi, parabola y=x25x6 berpotongan dengan sumbu Y di titik (0,6).

Mencari titik minimum parabola y=x25x6 yaitu:

xy====2ab=21(5)=254aD=4a(b24ac)41((5)241(6))4(25+24)=449

Jadi, titik minimum parabola y=x25x6 adalah (25,449).

  • Gambar grafik x+2y4

Grafik x+2y=4 adalah garis dengan titik potong terhadap sumbu X jika y=0 sehingga

 x+2yx+20x+0x====4444 .

Jadi, garis x+2y=4 berpotongan dengan sumbu X di titik (4,0)

Selanjutnya, titik potong terhadap sumbu Y jika x=0 sehingga 

x+2y0+2y2yy====44424=2

Jadi, garis x+2y=4  berpotongan dengan sumbu Y di titik (0,2).

  • Di bawah ini adalah hasil gambar penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yx25x6;x0danx+2y4

Uji titik (0,0) pada yx25x6. Jelas bahwa

 yyyx25x6025066 sedangkan 0>6

Artinya, titik (0,0) tidak terletak pada daerah penyelesaian yx25x6.

Uji titik (0,0) pada x+2y4. Jelas bahwa 

x+2y0+200444

Artinya, titik (0,0) terletak pada daerah penyelesaian x+2y4.

Jadi, gambar himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yx25x6;x0danx+2y4 adalah

0

Roboguru

Fungsi pendapatan dan fungsi biaya dari suatu perusahaan dirumuskan dengan R≤170Q−0,65Q2 dan C≥4200−140Q+1,35Q2, dengan Q menyatakan jumlah barang yang dijual/diproduksi. Tentukanlah jumlah produksi b...

Pembahasan Soal:

Fungsi pendapatan:  R170Q0,65Q2

Fungsi Biaya: C4200140Q+1,35Q2

  • Jumlah produksi yang memenuhi kedua pertidaksamaan adalah 

170Q0,65Q2170Q0,65Q24200+140Q1,35Q2310Q2Q242002Q2310Q+4200Q2155Q+2100Q215Q140Q+2100Q(Q15)140(Q15)(Q140)(Q15)4200140Q+1,35Q20000000

Diperoleh: 15Q140

Jadi, jumlah produksi barang yang secara bersamaan memenuhi fungsi pendapatan dan fungsi biaya adalah 15Q140.

  • Fungsi keuntungan: 

F.Keuntungan=F.PendapatanF.Biaya

F. Pendapatan: R170Q0,65Q2

F. Biaya: C4200140Q+1,35Q2C4200+140Q1,35Q2

Maka:

R170Q0,65Q2C4200+140Q1,35Q2+RC2Q2+310Q4200

Jadi, fungsi keuntungan adalah

2Q2+310Q4200

0

Roboguru

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: c. {2x+3y≥12y≤−x2+2x+8​

Pembahasan Soal:

Daerah penyelesaian bold 2 bold italic x bold plus bold 3 bold italic y bold greater or equal than bold 12.

  • Tentukan titik potong garis 2 x plus 3 y equals 12 terhadap sumbu x (y equals 0) dan sumbu y (x equals 0) untuk menggambar garis tersebut dengan bantuan tabel.

Substitusikan x equals 0 dan y equals 0 pada 2 x plus 3 y equals 12, sehingga diperoleh 2 titik potong sebagai berikut.

box enclose space x space end enclose box enclose space y space end enclose box enclose open parentheses x comma space y close parentheses end enclose box enclose space 0 space end enclose box enclose space 4 space end enclose box enclose open parentheses 0 comma space 4 close parentheses end enclose box enclose space 6 space end enclose box enclose space 0 space end enclose box enclose open parentheses 6 comma space 0 close parentheses end enclose

  • Hubungkan kedua titik tersebut hingga terbentuk sebuah garis 2 x plus 3 y equals 12.
  • Ambil satu titik sembarang sebagai titik uji, misalnya titik open parentheses 0 comma space 0 close parentheses.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x plus 3 y end cell greater or equal than 12 row cell 2 times 0 plus 3 times 0 end cell greater or equal than 12 row 0 greater or equal than cell 12 space open parentheses pernyataan space salah close parentheses end cell end table 

Karena pernyataan salah, maka daerah yang diarsir adalah daerah di atas garis 2 x plus 3 y equals 12 atau diarsir menjauhi titik open parentheses 0 comma space 0 close parentheses.



 

Sehingga, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2 x plus 3 y greater or equal than 12 adalah daerah bagian kanan atas garis 2 x plus 3 y equals 12.

Daerah penyelesaian bold italic y bold less or equal than bold minus bold italic x to the power of bold 2 bold plus bold 2 bold italic x bold plus bold 8.

  • Tentukan titik potong kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 8 terhadap sumbu x (y equals 0) dan sumbu y (x equals 0) untuk menggambar kurva tersebut.

Substitusikan x equals 0 dan y equals 0 pada y equals negative x squared plus 2 x plus 8, sehingga diperoleh 3 titik potong sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell negative x squared plus 2 x plus 8 end cell row y equals cell negative 0 squared plus 2 times 0 plus 8 end cell row y equals 8 row blank blank cell therefore open parentheses 0 comma space 8 close parentheses end cell row y equals cell negative x squared plus 2 x plus 8 end cell row 0 equals cell negative x squared plus 2 x plus 8 space open parentheses dikali space minus 1 close parentheses end cell row 0 equals cell x squared minus 2 x minus 8 end cell row cell x squared minus 2 x minus 8 end cell equals 0 row cell open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses x minus 4 close parentheses end cell equals 0 row x equals cell negative 2 logical or x equals 4 end cell row blank blank cell therefore open parentheses negative 2 comma space 0 close parentheses space dan space open parentheses 4 comma space 0 close parentheses end cell end table 

  • y equals negative x squared plus 2 x plus 8 merupakan fungsi kuadrat (grafik berbentuk parabola), maka tentukan pula titik puncaknya open parentheses x subscript p comma space y subscript p close parentheses.

Diketahui y equals negative x squared plus 2 x plus 8, maka:

a equals negative 1 comma space b equals 2 comma space c equals 8

Sehingga, titik puncaknya:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript p end cell equals cell negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction end cell row cell x subscript p end cell equals cell negative fraction numerator 2 over denominator 2 open parentheses negative 1 close parentheses end fraction end cell row cell x subscript p end cell equals 1 row cell y subscript p end cell equals cell negative fraction numerator b squared minus 4 a c over denominator 4 a end fraction end cell row cell x subscript p end cell equals cell negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction end cell row cell x subscript p end cell equals cell negative fraction numerator 2 over denominator 2 times open parentheses negative 1 close parentheses end fraction end cell row cell x subscript p end cell equals 1 row cell y subscript p end cell equals cell negative fraction numerator b squared minus 4 a c over denominator 4 a end fraction end cell row cell y subscript p end cell equals cell negative fraction numerator 2 squared minus 4 times open parentheses negative 1 close parentheses times 8 over denominator 4 times open parentheses negative 1 close parentheses end fraction end cell row cell y subscript p end cell equals cell negative fraction numerator 36 over denominator negative 4 end fraction end cell row cell y subscript p end cell equals 9 row cell therefore open parentheses x subscript p comma space y subscript p close parentheses end cell equals cell open parentheses 1 comma space 9 close parentheses end cell end table 

  • Hubungkan keempat titik tersebut hingga terbentuk sebuah kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 8.
  • Ambil satu titik sembarang sebagai titik uji, misalnya titik open parentheses 0 comma space 0 close parentheses.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y less or equal than cell negative x squared plus 2 x plus 8 end cell row 0 less or equal than cell negative 0 squared plus 2 times 0 plus 8 end cell row 0 less or equal than cell 8 space open parentheses pernyataan space benar close parentheses end cell end table  

Karena pernyataan benar, maka daerah yang diarsir adalah daerah di dibawah kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 8 atau diarsir mendekati titik open parentheses 0 comma space 0 close parentheses.



 

Sehingga, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 8 adalah daerah bagian bawah kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 8.

Jika garis 2 x plus 3 y equals 12 dan kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 8 digabung dalam satu bidang kartesius, maka diperoleh gambar sebagai berikut.



 

Jadi, daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang paling banyak terkena arsiran.

0

Roboguru

Lukislah DHP dari setiap SPtDV berikut. 1. {x−y≥0y≥x2−6​

Pembahasan Soal:

Cari DHP dari x minus y greater or equal than 0 terlebih dahulu

Garis pembatas dari x minus y greater or equal than 0 adalah y equals x  

Jika x equals 1  maka y equals 1left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis 1 comma space 1 right parenthesis 

Jika x equals 2 maka y equals 2left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis 2 comma space 2 right parenthesis 

Untuk mengetahui DHP lakukan uji titik

Untuk left parenthesis 1 comma space 0 right parenthesis  

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus y end cell greater or equal than 0 row cell left parenthesis 1 right parenthesis minus left parenthesis 0 right parenthesis end cell greater or equal than 0 row 1 greater or equal than cell 0 space left parenthesis benar right parenthesis end cell end table 

Karena titik left parenthesis 1 comma space 0 right parenthesis benar maka daerah yang terdapat titik left parenthesis 1 comma space 0 right parenthesis merupakan DHP dari x minus y greater or equal than 0 

Selanjutnya cari DHP dari y greater or equal than x squared minus 6 

Kurva pembatas dari y greater or equal than x squared minus 6 adalah y equals x squared minus 6 

Berdasarkan bentuk umum fungsi kuadrat y equals a x squared plus b x plus c diketahui

a equals 1 b equals 0 c equals negative 6 

Cari titik puncak pada bentuk persamaan kuadrat y equals a x squared plus b x plus c seperti berikut

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis x subscript p comma space y subscript p right parenthesis end cell equals cell left parenthesis negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction comma space minus fraction numerator b squared minus 4 a c over denominator 4 a end fraction right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis negative fraction numerator 0 over denominator 2 left parenthesis 1 right parenthesis end fraction comma space minus fraction numerator 0 squared minus 4 left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis negative 6 right parenthesis over denominator 4 left parenthesis 1 right parenthesis end fraction right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis 0 comma space minus 24 over 4 right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis 0 comma space minus 6 right parenthesis end cell end table 

Cari titik-titik pembentuk kurva tersebut

Untuk x equals 2 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared minus 6 end cell row y equals cell left parenthesis 2 right parenthesis squared minus 6 end cell row y equals cell 4 minus 6 end cell row y equals cell negative 2 end cell row cell left parenthesis x comma space y right parenthesis end cell equals cell left parenthesis 2 comma space minus 2 right parenthesis end cell end table 

Untuk x equals negative 2 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared minus 6 end cell row y equals cell left parenthesis negative 2 right parenthesis squared minus 6 end cell row y equals cell 4 minus 6 end cell row y equals cell negative 2 end cell row cell left parenthesis x comma space y right parenthesis end cell equals cell left parenthesis negative 2 comma space minus 2 right parenthesis end cell end table 

Untuk mengetahui DHP lakukan uji titik

Untuk left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y greater or equal than cell x squared minus 6 end cell row 0 greater or equal than cell 0 squared minus 6 end cell row 0 greater or equal than cell negative 6 space left parenthesis benar right parenthesis end cell end table 

Karena titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis benar maka daerah yang terdapat titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis merupakan DHP dari y greater or equal than x squared minus 6 

DHP dari open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x minus y greater or equal than 0 end cell row cell y greater or equal than x squared minus 6 end cell end table close merupakan irisan DHP dari x minus y greater or equal than 0 dan y greater or equal than x squared minus 6 

Jadi, DHP dari open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x minus y greater or equal than 0 end cell row cell y greater or equal than x squared minus 6 end cell end table close yaitu

0

Roboguru

Perhatikan sistem pertidaksamaan berikut! {y≤−x−1y≥x2−2x−3​  Daerah penyelesaian yang sesuai adalah ....

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka perlu mengubah bentuk persamaan menjadi bentuk umumnya sebagai berikut:

{yax+byax2+bx+c.

Untuk garis pertidaksamaan linear

yx1.

  • Titik potong pada sumbu y. Ketika x=0, maka y=1.
  • Titik potong pada sumbu x. Ketika y=0, maka x=1.

Untuk parabola pertidaksamaan kuadrat

yx22x3.

  • Titik potong pada sumbu y. Ketika x=0, maka y=3.
  • Titik potong pada sumbu x. Ketika y=0, maka

x22x3(x+1)(x3)==00 

Karena hasil perkalian sama dengan 0, maka x+1=0 atau x3=0.

Ketika x+1=0, maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 1 minus 1 end cell equals cell 0 minus 1 end cell row x equals cell negative 1 end cell end table 

Dan x3=0, maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 plus 3 end cell equals cell 0 plus 3 end cell row x equals 3 end table 

Kemudian tentukan titik potong persamaan linear dan parabola, dengan menggabungkan kedua persamaan linear dan parabola tersebut.

Kedua persamaan di atas dapat diselesaikan menjadi:

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared minus 2 x minus 3 plus x plus 1 end cell equals cell negative x minus 1 plus x plus 1 end cell row cell x squared minus x minus 2 end cell equals 0 row cell open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses x minus 2 close parentheses end cell equals 0 end table end style 

Karena hasil perkalian nya sama dengan 0, maka x+1=0 atau x2=0.

Ketika x+1=0, maka:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 1 minus 1 end cell equals cell 0 minus 1 end cell row x equals cell negative 1 end cell end table 

Dan x2=0, maka:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 2 plus 2 end cell equals cell 0 plus 2 end cell row x equals 2 end table

Kemudian masukkan semua titik-titik potong pada diagram kartesian. Arsir daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan, maka daerah dengan dua kali arsiran merupakan himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan.

Dengan demikian, daerah himpunan penyelesaian dari persoalan tersebut

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved