Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola y=x2+1 dan garis y=−x+3 adalah...

Pertanyaan

Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh parabola $\style{font-size:14px}{y=x^2+1}$ dan garis $\style{font-size:14px}y\style{font-size:14px}=\style{font-size:14px}-\style{font-size:14px}x\style{font-size:14px}+\style{font-size:14px}3$ adalah...

P. Anggrayni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Titik potong antara parabola dan garis

$\begin{array}{rcl}y&=&y\\\mathrm x^2+1&=&-\mathrm x+3\\\mathrm x^2+\mathrm x-2&=&0\\\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-1\right)&=&0\end{array}$

sehingga diperoleh

$\begin{array}{ccc}x+2=0&\mathrm{atau}&x-1=0\\x=-2&&x=1\end{array}$

Dengan demikian, kedua parabola berpotongan di $\mathrm x=-2\;\mathrm{atau}\;\mathrm x=1$ . Sehingga area pengintegralan adalah $-2\leq x\leq1$ .

Untuk memeriksa kurva mana yang terletak di atas dan kurva mana yang terletak di bawah, kita lakukan uji titik yang terletak di antara $-2\leq x\leq1$ .

Pilih $x=0$ , substitusikan ke masing-masing persamaan garis dan parabola, lalu bandingkan.

jika $x=0$ disubstitusikan ke $y=x^2+1$ diperoleh

$\begin{array}{rcl}y&=&0^2+1\\y&=&1\end{array}$

jika $x=0$ disubstitusikan ke $y=-x+3$ diperoleh

$\begin{array}{rcl}y&=&-0+3\\y&=&3\end{array}$

Karena nilai y pada garis lebih besar dari nilai y pada parabola, maka garis terletak di atas parabola.

Oleh karena itu, luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kedua kurva adalah

$\style{font-size:12px}{\begin{array}{rcl}\mathrm L&=&\int_{-2}^1\left(\left(-x+3\right)-\left(x^2+1\right)\right)\;\operatorname dx\\&=&\int_{-2}^1\left(-x^2-x+2\right)\;\operatorname dx\\&=&\left[-\frac13x^3-\frac12x^2+2x\right]_{-2}^1\\&=&\left[-\frac13\left(1\right)^3-\frac12\left(1\right)^2+2\left(1\right)\right]-\left[-\frac13\left(-2\right)^3-\frac12\left(-2\right)^2+2\left(-2\right)\right]\\&=&\left[-\frac13-\frac12+2\right]-\left[\frac83-\frac42-4\right]\\&=&\frac76-\left(-\frac{20}6\right)\\&=&\frac{27}6\\&=&\frac92\\&=&4\frac12\end{array}}$

Luas daerah yang dimaksud adalah $4\frac12\;\mathrm{satuan}\;\mathrm{luas}$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah E.

283

5.0 (1 rating)