Pertanyaan

Jika A + B + C = 2 S , tunjukkan bahwa. sin ( S − A ) + sin ( S − B ) + sin ( S − C ) − sin S = 4 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

Jika $A + B + C = 2 S$ , tunjukkan bahwa.

$sin (S - A) + sin (S - B) + sin (S - C) - sin S = 4 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2})$

I. Roy

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa sin ( S − A ) + sin ( S − B ) + sin ( S − C ) − sin S = 4 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

terbukti bahwa

sin (S - A) + sin (S - B) + sin (S - C) - sin S = 4 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2})

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus jumlah dan selisiihTrigonometri yaitu sin A + sin B = 2 sin 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) cos A − cos B = − 2 sin 2 1 ( A + B ) sin 2 1 ( A − B ) Sudut berelasi sin ( − A ) = − sin ( A ) Dari soal diketahui A + B + C A + B C = = = 2 S 2 S − C 2 S − ( A + B ) Sehingga sin ( S − A ) + sin ( S − B ) + sin ( S − C ) − sin S ⇔ 2 sin 2 1 ( S − A + S − B ) cos 2 1 ( S − A − S + B ) + 2 cos 2 1 ( S − C + S ) sin 2 1 ( S − C − S ) ⇔ 2 sin ( 2 2 S − ( A + B ) ) cos ( 2 B − A ) + 2 cos ( 2 2 S − C ) sin ( 2 − C ) ⇔ 2 sin ( 2 C ) cos ( 2 B − A ) − 2 cos ( 2 2 S − C ) sin ( 2 C ) ⇔ 2 sin ( 2 C ) [ cos ( 2 B − A ) − cos ( 2 2 S − C ) ] ⇔ 2 sin ( 2 C ) [ cos ( 2 B − A ) − cos ( 2 A + B ) ] ⇔ 2 sin ( 2 C ) [ − 2 sin 2 1 ( 2 B − A + A + B ) sin 2 1 ( 2 B − A − A − B ) ] ⇔ 2 sin ( 2 C ) [ − 2 sin ( 4 2 B ) sin ( 4 − 2 A ) ] ⇔ 2 sin ( 2 C ) [ − 2 sin ( 2 B ) sin ( 2 − A ) ] ⇔ 2 sin ( 2 C ) [ − 2 sin ( 2 B ) ⋅ − sin ( 2 A ) ] ⇔ 4 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C ) ( terbukti ) Dengan demikian terbukti bahwa sin ( S − A ) + sin ( S − B ) + sin ( S − C ) − sin S = 4 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dan selisiihTrigonometri yaitu

$sin A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) cos A - cos B = - 2 sin \frac{1}{2} (A + B) sin \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut berelasi

$sin (- A) = - sin (A)$

Dari soal diketahui

$A + B + C A + B C = = = 2 S 2 S - C 2 S - (A + B)$

Sehingga

$sin (S - A) + sin (S - B) + sin (S - C) - sin S \Leftrightarrow 2 sin \frac{1}{2} (S - A + S - B) cos \frac{1}{2} (S - A - S + B) + 2 cos \frac{1}{2} (S - C + S) sin \frac{1}{2} (S - C - S) \Leftrightarrow 2 sin (\frac{2 S - ( A + B )}{2}) cos (\frac{B - A}{2}) + 2 cos (\frac{2 S - C}{2}) sin (\frac{- C}{2}) \Leftrightarrow 2 sin (\frac{C}{2}) cos (\frac{B - A}{2}) - 2 cos (\frac{2 S - C}{2}) sin (\frac{C}{2}) \Leftrightarrow 2 sin (\frac{C}{2}) [cos (\frac{B - A}{2}) - cos (\frac{2 S - C}{2})] \Leftrightarrow 2 sin (\frac{C}{2}) [cos (\frac{B - A}{2}) - cos (\frac{A + B}{2})] \Leftrightarrow 2 sin (\frac{C}{2}) [- 2 sin \frac{1}{2} (\frac{B - A + A + B}{2}) sin \frac{1}{2} (\frac{B - A - A - B}{2})] \Leftrightarrow 2 sin (\frac{C}{2}) [- 2 sin (\frac{2 B}{4}) sin (\frac{- 2 A}{4})] \Leftrightarrow 2 sin (\frac{C}{2}) [- 2 sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{- A}{2})] \Leftrightarrow 2 sin (\frac{C}{2}) [- 2 sin (\frac{B}{2}) \cdot - sin (\frac{A}{2})] \Leftrightarrow 4 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) sin (\frac{C}{2}) (terbukti)$