Pertanyaan

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut! S in A + sin B − sin C = 4 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) cos ( 2 C )

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut!

$S in A + sin B - sin C = 4 sin (\frac{A}{2}) sin (\frac{B}{2}) cos (\frac{C}{2})$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : rumus jumlah Trigonometri yaitu S in A + sin B = 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) cos A − cos B = − 2 sin ( 2 A + B ) sin ( 2 A − B ) Sudut relasi di kuadranI pada sinus sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α Sudut relasi sinus sin ( − α ) = − sin α Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C A + B 2 A + B 2 A + B sin ( 2 A + B ) sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A + B ) = = = = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − C 2 180 − C 90 − 2 C sin ( 90 − 2 C ) cos 2 C cos ( 90 − 2 C ) sin 2 C Sehingga sin A + sin B − sin C = = = = = = = = = = sin A + sin B − sin C 2 sin ( 2 A + B ) ⋅ cos ( 2 A − B ) − 2 sin 2 C ⋅ cos 2 C 2 cos ( 2 C ) ⋅ cos ( 2 A − B ) − 2 sin 2 C ⋅ cos 2 C 2 cos ( 2 C ) [ cos ( 2 A − B ) − 2 sin 2 C ] 2 cos ( 2 C ) [ cos ( 2 A − B ) − 2 cos ( 2 A + B ) ] 2 cos ( 2 C ) [ − 2 sin 2 1 ( 2 A − B + A + B ) sin 2 1 ( 2 A − B − A − B ) ] 2 cos ( 2 C ) [ − 2 sin 2 1 A ⋅ sin ( 2 − B ) ] 2 cos ( 2 C ) [ − 2 sin 2 1 A ⋅ − sin ( 2 B ) ] 2 cos ( 2 C ) [ 2 sin 2 1 A ⋅ sin 2 B ] 4 sin ( 2 A ) ⋅ sin ( 2 B ) ⋅ cos ( 2 C ) ( terbukti ) Dengan demikian benar bahwa S in A + sin B − sin C = 4 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) cos ( 2 C )

Ingat bahwa :

rumus jumlah Trigonometri yaitu

$S in A + sin B = 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) cos A - cos B = - 2 sin (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{A - B}{2})$

Sudut relasi di kuadran I pada sinus

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$

Sudut relasi sinus

$sin (- α) = - sin α$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C A + B \frac{A + B}{2} \frac{A + B}{2} sin (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A + B}{2}) = = = = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - C \frac{180 - C}{2} 90 - \frac{C}{2} sin (90 - \frac{C}{2}) cos \frac{C}{2} cos (90 - \frac{C}{2}) sin \frac{C}{2}$

Sehingga

$sin A + sin B - sin C = = = = = = = = = = sin A + sin B - sin C 2 sin (\frac{A + B}{2}) \cdot cos (\frac{A - B}{2}) - 2 sin \frac{C}{2} \cdot cos \frac{C}{2} 2 cos (\frac{C}{2}) \cdot cos (\frac{A - B}{2}) - 2 sin \frac{C}{2} \cdot cos \frac{C}{2} 2 cos (\frac{C}{2}) [cos (\frac{A - B}{2}) - 2 sin \frac{C}{2}] 2 cos (\frac{C}{2}) [cos (\frac{A - B}{2}) - 2 cos (\frac{A + B}{2})] 2 cos (\frac{C}{2}) [- 2 sin \frac{1}{2} (\frac{A - B + A + B}{2}) sin \frac{1}{2} (\frac{A - B - A - B}{2})] 2 cos (\frac{C}{2}) [- 2 sin \frac{1}{2} A \cdot sin (\frac{- B}{2})] 2 cos (\frac{C}{2}) [- 2 sin \frac{1}{2} A \cdot - sin (\frac{B}{2})] 2 cos (\frac{C}{2}) [2 sin \frac{1}{2} A \cdot sin \frac{B}{2}] 4 sin (\frac{A}{2}) \cdot sin (\frac{B}{2}) \cdot cos (\frac{C}{2}) (terbukti)$