Pertanyaan

Jika titik ( 1 , 4 ) dan ( 4 , 1 ) merupakan titik minimum fungsi objektif f ( x , y ) = a x + b y dengan kendala x + y ≥ 5 , x + 2 y ≤ 20 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 maka nilai ab adalah …

Jika titik $(1, 4)$ dan $(4, 1)$ merupakan titik minimum fungsi objektif $f (x, y) = a x + b y$ dengan kendala $x + y \geq 5, x + 2 y \leq 20, x \geq 0 dan y \geq 0$ maka nilai $ab$ adalah $\dots$

$- \frac{5}{2}$
$- 2$
$- 1$
$\frac{1}{2}$
$1$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D/E.

Pembahasan

Konsep : Peminimuman fungsi objektif Persamaan garis f ( x , y ) = a x + b melalui ( x 1 , y 1 ) dan ( x 2 , y 2 ) adalah y − y 1 = x 2 − x 1 y 2 − y 1 ( x − x 1 ) Diketahui dari soal dan di gambar daerah penyelesaiannya : x + y ≥ 5 , x + 2 y ≤ 20 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 1. untuk x + y ≥ 5 , berikut langkah-langkahnya garis x + y = 5 titik potong sumbu x yaitu y = 0 ⇒ x = 5 ⇒ ( 5 , 0 ) titik potong sumbu y yaitu x = 0 ⇒ y = 5 ⇒ ( 0 , 5 ) uji titik, misal diambil ( 0 , 0 ) maka 0 + 0 = 0 < 5 tak memenuhi x + y ≥ 5 . Sehingga daerah penyelesaiannya : 2. untuk x + 2 y ≤ 20 , berikut langkah-langkahnya garis x + 2 y = 20 titik potong sumbu x yaitu y = 0 ⇒ x = 20 ⇒ ( 20 , 0 ) titik potong sumbu y yaitu x = 0 ⇒ y = 20 ⇒ ( 0 , 20 ) uji titik, misal diambil ( 0 , 0 ) maka 0 + 0 = 0 < 20 memenuhi x + 2 y ≤ 20 x ≥ 0 , y ≥ 0 . Sehingga daerah solusi sistem : Karena ( 1 , 4 ) dan ( 4 , 1 ) peminimum f ( x , y ) harus tunggal, maka semua titik yang terletak pada garis yang melalui titik ( 1 , 4 ) dan ( 4 , 1 ) pasti peminimum f ( x , y ) . Sehingga persamaan garis tersebut adalah : y − y 1 = x 2 − x 1 y 2 − y 1 ( x − x 1 ) y − 4 = 4 − 1 1 − 4 ( x − 1 ) y − 4 = − ( x − 1 ) y − 4 = − x + 1 x + y = 1 + 4 = 5 atau − x − y = − 5 Semua titik di garis x + y = 5 atau − x − y = − 5 adalah peminimum f ( x , y ) maka f ( x , y ) konstan. Oleh karena itu f ( x , y ) = x + y atau f ( x , y ) = − x − y . Sehingga : ab = 1 × 1 = 1 atau − 1 × − 1 = 1 Karena titik minimum fungsi objektifnya tidak tunggal, maka persamaan garis selidiknya mempunyai gradien yang sama dengan salah satu garis batas daerah himpunan penyelesaian (dalam kasus ini, gradiennya − 1 , sama dengan garis x + y = 5 atau − x − y = − 5 ) oleh karena itu, a = b dan keduanya positif di antara kelima opsi, nilai ab yang memenuhi yaitu : D. 2 1 , jika dipilih a = b = 2 1 atau E. 1 , jika dipilih a = b = 1 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D/E.

Konsep :

Peminimuman fungsi objektif
Persamaan garis $f (x, y) = a x + b$ melalui $(x_{1}, y_{1}) dan (x_{2}, y_{2})$ adalah $y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$

Diketahui dari soal dan di gambar daerah penyelesaiannya :

$x + y \geq 5, x + 2 y \leq 20, x \geq 0 dan y \geq 0$

1. untuk $x + y \geq 5$ , berikut langkah-langkahnya

garis $x + y = 5$
titik potong sumbu $x yaitu y = 0 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow (5, 0)$
titik potong sumbu $y yaitu x = 0 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow (0, 5)$
uji titik, misal diambil $(0, 0)$ maka $0 + 0 = 0 < 5$ tak memenuhi $x + y \geq 5$ . Sehingga daerah penyelesaiannya :

2. untuk $x + 2 y \leq 20$ , berikut langkah-langkahnya

garis $x + 2 y = 20$
titik potong sumbu $x yaitu y = 0 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow (20, 0)$
titik potong sumbu $y yaitu x = 0 \Rightarrow y = 20 \Rightarrow (0, 20)$
uji titik, misal diambil $(0, 0)$ maka $0 + 0 = 0 < 20$ memenuhi $x + 2 y \leq 20$
$x \geq 0, y \geq 0$ . Sehingga daerah solusi sistem :

Karena $(1, 4)$ dan $(4, 1)$ peminimum $f (x, y)$ harus tunggal, maka semua titik yang terletak pada garis yang melalui titik $(1, 4)$ dan $(4, 1)$ pasti peminimum $f (x, y)$ . Sehingga persamaan garis tersebut adalah :

$y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1}) y - 4 = \frac{1 - 4}{4 - 1} (x - 1) y - 4 = - (x - 1) y - 4 = - x + 1 x + y = 1 + 4 = 5 atau - x - y = - 5$

Semua titik di garis $x + y = 5 atau - x - y = - 5$ adalah peminimum $f (x, y)$ maka $f (x, y)$ konstan. Oleh karena itu $f (x, y) = x + y$ atau $f (x, y) = - x - y$ . Sehingga :

$ab = 1 \times 1 = 1 atau - 1 \times - 1 = 1$

Karena titik minimum fungsi objektifnya tidak tunggal, maka persamaan garis selidiknya mempunyai gradien yang sama dengan salah satu garis batas daerah himpunan penyelesaian (dalam kasus ini, gradiennya $- 1$ , sama dengan garis $x + y = 5 atau - x - y = - 5$ )