Roboguru

Jika  dan , tunjukkan bahwa: d.

Pertanyaan

Jika alpha equals 60 degree dan beta equals 30 degree, tunjukkan bahwa:

d. sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses space sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses equals sin squared alpha minus sin squared beta

Pembahasan Soal:

Substitusi alpha equals 60 degree dan beta equals 30 degree ke dalam persamaan.

Diperoleh:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses space sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell sin squared alpha minus sin squared beta end cell row cell sin space open parentheses 60 degree plus 30 degree close parentheses times sin space open parentheses 60 degree minus 30 degree close parentheses end cell equals cell sin squared space 60 degree minus sin squared space 30 degree end cell row cell sin space 90 degree times sin space 30 degree end cell equals cell sin squared space 60 degree minus sin squared space 30 degree end cell row cell 1 times 1 half end cell equals cell open parentheses fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction close parentheses squared minus open parentheses 1 half close parentheses squared end cell row cell 1 half end cell equals cell 3 over 4 minus 1 fourth end cell row cell 1 half end cell equals cell 2 over 4 end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Karena diperoleh hasil ruas kiri sama dengan hasil ruas kanan, maka terbukti bahwa sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses space sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses equals sin squared alpha minus sin squared beta.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

S. Ayu

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Prof. DR. Hamka

Terakhir diupdate 07 Juni 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahui cosx=53​ untuk 0∘<x<90∘ Nilai dari sin3x+sinx adalah ...

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

rumus sudut rangkap pada sinus

sin2A=2sinAcosA

rumus penjumlahan sudut sinus 

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB) 

Dari soal diketahui cosx=53

Misalkan panjang sisi tegak pada segitiga tersebut adalah t, maka t dapat ditentukan dengan teorema phytagoras berikut.

t====5232259164

sinx=54

Sehingga 

sin3x+sinx=====2sin21(3x+x)cos21(3xx)2sin2xcosx2(2sinxcosx)cosx2(25453)53125144

Jadi, jawaban yang tepat adalah E

Roboguru

Pembahasan Soal:

Sifat penjumlahan dan pengurangan trigonometri :

sin space straight A plus sin space straight B equals 2 sin 1 half left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis cos 1 half left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis sin space straight A minus sin space straight B equals 2 cos 1 half left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis sin 1 half left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis cos space straight A plus cos space straight B equals 2 cos 1 half left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis cos 1 half left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis cos space straight A minus cos space straight B equals 2 sin 1 half left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis sin 1 half left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis 

Sifat perkalian trigonometri :

2 sin space straight A space cos space straight B equals sin left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis plus sin left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis 2 cos space straight A space sin space straight B equals sin left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis minus sin left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis 2 cos space straight A space cos space straight B equals cos left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis plus cos left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis minus 2 sin space straight A space sin space straight B equals cos left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis plus cos left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis 

Dengan menggunakan sifat tersebut, maka :

fraction numerator sin space x plus sin space 3 x over denominator tan space x end fraction equals fraction numerator sin space 3 x plus sin space x over denominator tan space x end fraction equals fraction numerator 2 sin space 1 half open parentheses 3 x plus x close parentheses cos space 1 half open parentheses 3 x minus x close parentheses over denominator tan space x end fraction equals fraction numerator 2 sin space 2 x space cos space x over denominator begin display style fraction numerator sin space x over denominator cos space x end fraction end style end fraction equals 2 sin space 2 x space cos space x open parentheses fraction numerator cos space x over denominator sin space x end fraction close parentheses equals 2 open parentheses 2 space sin space x space cos space x close parentheses cos space x open parentheses fraction numerator cos space x over denominator sin space x end fraction close parentheses equals 4 space cos cubed space x  

Maka, fraction numerator sin space x plus sin space 3 x over denominator tan space x end fraction equals 4 space cos cubed space x.  

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Roboguru

Buktikan: d.

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 2 straight A end cell equals cell 2 times sin space straight A times cos space straight A end cell row cell sin squared space straight A plus cos squared space straight A end cell equals 1 row cell sin squared space straight A end cell equals cell 1 minus cos squared space straight A end cell row cell cos squared space straight A end cell equals cell 1 minus sin squared space straight A end cell end table 

Akan dibuktikan 2 space sin space x space cos cubed space x plus 2 space sin cubed space x space cos space x equals sin space 2 x. Maka:

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Ruas space kiri end cell equals cell 2 space sin space x space cos cubed space x plus 2 space sin cubed space x space cos space x end cell row blank equals cell 2 times sin space x times cos space x times open parentheses cos squared space x plus sin squared space x close parentheses end cell row blank equals cell 2 times sin space x times cos space x times 1 end cell row blank equals cell 2 times sin space x times cos space x times open parentheses cos squared space x plus sin squared space x close parentheses end cell row blank equals cell sin space 2 x end cell end table 

Jadi, terbukti bahwa 2 space sin space x space cos cubed space x plus 2 space sin cubed space x space cos space x equals sin space 2 x.

Roboguru

Tentukan himpunan penyelesaian dari sin2xsin3xcos2x−cos4x​<1 untuk 0∘≤x≤360∘.

Pembahasan Soal:

Ingat,

Rumus Selisih Cosinus

cosAcosB=2sin21(A+B)sin21(AB)

Rumus Sudut Rangkap (Sinus)

sin2A=2sinAcosA

Sudut Berelasi (Kuadran IV)

sin(A)=sinA

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

►Menyederhanakan bentuk sin2xsin3xcos2xcos4x

sin2xsin3xcos2xcos4x=======sin2xsin3x2sin21(2x+4x)sin21(2x4x)sin2xsin3x2sin21(6x)sin21(2x)sin2xsin3x2sin3xsin(x)sin2xsin3x2sin3x⋅−sin(x)sin2x2sinx2sinxcosx2sinxcosx1

► Menentukan himpunan penyelesaian

sin2xsin3xcos2xcos4xcosx1cosx11cosx1cosx1cosxcosx<<<<<>110011

Nilai dari cosinus maksimal adalah 1, sehingga apabila cosx>1 maka tidak ada himpunan penyelesaian yang memenuhi

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sin2xsin3xcos2xcos4x<1 untuk 0x360 adalah himpunan kosong. 

Roboguru

Buktikan setiap identitas berikut. sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C​=8sin(2A​)sin(2B​)sin(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

sinA+sinBcosA+cosB==2cos21(A+B)cos21(AB)2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi

sin(90α)=cosα

sin(180α)=sinα

sin(360α)=sinα

cos(α)=cosα

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Sudut rangkap pada cosinus

cos2A1cos2A==12sin2A2sin2A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CCcos2Csin2Csin2CsinC===========180180(A+B)cos(2180(A+B))cos(902(A+B))sin(2A+B)sin2(180(A+B))sin(3602(A+B))sin2(A+B)sin(2180(A+B))sin(902(A+B))cos(2A+B)

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari Sin2A+sin2B+sin2C

sin2A+sin2B+sin2C===========sin2A+sin2Bsin2(A+B)sin2A+sin2Bsin(2A+2B)sin2A+sin2B(sin2Acos2B+cos2Asin2B)sin2Asin2Acos2B+sin2Bcos2Asin2Bsin2A(1cos2B)+sin2B(1cos2A)2sinAcosA2sin2B+2sinBcosB2sin2A4sinAsinB[cosAsinB+cosBsinA]4sinAsinB[sinAcosB+cosAsinB]4sinAsinB[sin(A+B)]4sinAsinBsin(180C)4sinAsinBsinC

Kemudian akan dicari hasil dari sinA+sinB+sinC

sinA+sinB+sinC=======(sinA+sinB)+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2C(cos(2AB)+sin2C)2cos2C(cos(2AB)+cos(2A+B))2cos2C(2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB))2cos2C(2cos(42A)cos(42B))4cos2Acos2Bcos2C

Maka

sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C===4cos2Acos2Bcos2C4sinAsinBsinC4cos2Acos2Bcos2C42sin2Acos2A2sin2Bcos2B2sin2Ccos2C8sin(2A)sin(2B)sin(2C)(terbukti) 

Dengan demikian terbukti bahwa sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C=8sin(2A)sin(2B)sin(2C)

 

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved