Jika f ( x ) = ∫ ( 6 x + 3 ) ( x 2 + x ) 2 d x dan f ( 1 ) = 8 ,tentukan rumus fungsi f ( x ) .

Pembahasan

Diketahui f ( x ) = ∫ ( 6 x + 3 ) ( x 2 + x ) 2 d x dan f ( 1 ) = 8 . Misal u = x 2 + x , maka diperoleh: u d x d u ​ d u d x ​ = = = = ​ x 2 + x 2 x + 1 ( 2 x + 1 ) d x ( 2 x + 1 ) d u ​ ​ f ′ ( x ) ​ = = = = = = ​ ∫ ( 6 x + 3 ) ( x 2 + x ) 2 d x ∫ 3 ( 2 x + 1 ) ​ u 2 ( 2 x + 1 ) ​ d u ​ ∫ 3 u 2 d u 2 + 1 3 ​ u 2 + 1 + C u 3 + C ( x 2 + x ) 3 + C ​ Selanjutnya, misal nilai f ( x ) sebagai berikut. f ( x ) ​ = = = = = = ​ ∫ ( ( x 2 + x ) 3 + C ) d x ∫ ( ( x ( x + 1 ) ) 3 + C ) d x ∫ ( x 3 ( x + 1 ) 3 + C ) d x ∫ ( x 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ) + C ) d x ∫ ( x 6 + 3 x 5 + 3 x 4 + x 3 + C ) d x 7 x 7 ​ + 2 x 6 ​ + 5 3 x 5 ​ + 4 x 4 ​ + C x + D ​ Kemudian, diketahui f ( 1 ) = 8 sehingga diperoleh sebagai berikut. f ( x ) f ( 1 ) 8 8 C + D D ​ = = = = = = ​ 7 x 7 ​ + 2 x 6 ​ + 5 3 x 5 ​ + 4 x 4 ​ + C x + D 7 1 ​ + 2 1 ​ + 5 3 ​ + 4 1 ​ + C + D 0 , 143 + 0 , 5 + 0 , 6 + 0 , 25 + C + D 1 , 493 + C + D 6 , 5 6 , 5 − C ​ Berdasarkan nilai D di atas, diperoleh fungsi f ( x ) sebagai berikut. f ( x ) ​ = = ​ 7 x 7 ​ + 2 x 6 ​ + 5 3 x 5 ​ + 4 x 4 ​ + C x + D 7 x 7 ​ + 2 x 6 ​ + 5 3 x 5 ​ + 4 x 4 ​ + C x + 6 , 5 − C ​ Dengan demikian,rumus fungsi f ( x ) adalah f ( x ) ​ = ​ 7 x 7 ​ + 2 x 6 ​ + 5 3 x 5 ​ + 4 x 4 ​ + C x + 6 , 5 − C ​ .