Pertanyaan

Jika 2 α dan 3 β merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x 2 − ( a + 5 ) x + 5 a = 0 , maka nilai minimum dari 4 α 2 + 9 β 2 adalah....

Jika $2 α$ dan $3 β$ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2} - (a + 5) x + 5 a = 0$ , maka nilai minimum dari $4 α^{2} + 9 β^{2}$ adalah....

$25$
$20$
$18$
$10$
$5$

P. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A.

Pembahasan

Ingat! Jika akar-akar persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 adalah x 1 dan x 2 maka x 1 + x 2 x 1 ⋅ x 2 = = − a b a c Diketahui akar-akar persamaan x 2 − ( a + 5 ) x + 5 a = 0 adalah 2 α dan 3 β maka a b c = = = 1 − ( a + 5 ) 5 a Sehingga 2 α + 3 β 2 α ⋅ 3 β = = − a b = − 1 − ( a + 5 ) = a + 5 a c = 1 5 a = 5 a Misalkan : f ( a ) = 4 α 2 + 9 β 2 Perhatikan perhitungan berikut ( 2 α + 3 β ) 2 ( a + 5 ) 2 a 2 + 10 a + 25 4 α 2 + 9 β 2 f ( a ) = = = = = ( 2 α ) 2 + 2 ⋅ 2 α ⋅ 3 β + ( 3 β ) 2 4 α 2 + 2 ⋅ 5 a + 9 β 2 4 α 2 + 9 β 2 + 10 a a 2 + 10 a + 25 − 10 a a 2 + 25 Ingat! Nilai minimum pada fungsi kuadrat f ( x ) = a x 2 + b x + c adalah y = − 4 a b 2 − 4 a c Maka pada f ( a ) = a 2 + 25 diketahui a = 1 , b = 0 , dan c = 25 sehingga Nilai minimum = = = = = − 4 a b 2 − 4 ac − 4 ⋅ 1 0 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 − 4 − 100 − ( − 25 ) 25 Dengan demikian nilai minimum dari 4 α 2 + 9 β 2 adalah 25 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Ingat!

Jika akar-akar persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka

$x_{1} + x_{2} x_{1} \cdot x_{2} = = - \frac{b}{a} \frac{c}{a}$

Diketahui akar-akar persamaan $x^{2} - (a + 5) x + 5 a = 0$ adalah $2 α$ dan $3 β$ maka

$a b c = = = 1 - (a + 5) 5 a$

Sehingga

$2 α + 3 β 2 α \cdot 3 β = = - \frac{b}{a} = - \frac{- ( a + 5 )}{1} = a + 5 \frac{c}{a} = \frac{5 a}{1} = 5 a$

Misalkan : $f (a) = 4 α^{2} + 9 β^{2}$

Perhatikan perhitungan berikut

$(2 α + 3 β)^{2} (a + 5)^{2} a^{2} + 10 a + 25 4 α^{2} + 9 β^{2} f (a) = = = = = (2 α)^{2} + 2 \cdot 2 α \cdot 3 β + (3 β)^{2} 4 α^{2} + 2 \cdot 5 a + 9 β^{2} 4 α^{2} + 9 β^{2} + 10 a a^{2} + 10 a + 25 - 10 a a^{2} + 25$

Ingat!

Nilai minimum pada fungsi kuadrat $f (x) = a x^{2} + b x + c$ adalah

$y = - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$

Maka pada $f (a) = a^{2} + 25$ diketahui $a = 1, b = 0, dan c = 25$ sehingga

$Nilai minimum = = = = = - \frac{b ^{2} - 4 ac}{4 a} - \frac{0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}{4 \cdot 1} - \frac{- 100}{4} - (- 25) 25$

Dengan demikian nilai minimum dari $4 α^{2} + 9 β^{2}$ adalah $25$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Jika persamaan kuadrat 3 x 2 + x − 3 = 0 mempunyai akar-akar α dan β , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 + α + 1 1 dan 2 + β + 1 1 adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan x 2 + a x − ( a + 1 ) = 0 mempunyai akar-akar x 1 > 3 dan x 2 < 3 untuk...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui persamaan kuadrat x 2 − 8 x + p = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2 . Jika m dan n adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x 2 − ( x 1 2 + x 2 2 ) x − 6 dan mn=2 ( m + n ) , maka nil...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan persamaan kuadrat x 2 + 4 x + 4 = 0 . Nilai x 1 3 + x 2 3 = ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui 1 − 2 adalah salah satu akar x 2 + a x + b = 0 dengan b bilangan real positif dan suatu bilangan bulat. Nilai terkecil dari adalah...

5.0

Jawaban terverifikasi