Jika dalam segitiga A BC diketahui 3 sin A + 4 cos B = 1 dan 3 cos A + 4 sin B = 6 , maka nilai sin C adalah ....

Pembahasan

Pada soal diketahui 3 sin A + 4 cos B = 1 dan 3 cos A + 4 sin B = 6 . Jika dikuadratkan kedua ruas pada masing-masing persamaan tersebut, diperoleh persamaan sebagai berikut. 3 sin A + 4 cos B ( 3 sin A + 4 cos B ) 2 9 sin 2 A + 16 cos 2 B + 24 sin A cos B ​ = = = ​ 1 1 2 1 ​ 3 cos A + 4 sin B ( 3 cos A + 4 sin B ) 2 9 cos 2 A + 16 sin 2 B + 24 cos A sin B ​ = = = ​ 6 6 2 36 ​ Lalu,jumlahkan kedua persamaan di atas sehingga didapat persamaan berikut. 9 sin 2 A + 16 cos 2 B + 24 sin Acos B = 1 9 cos 2 A + 16 sin 2 B + 24 cos Asin B = 36 ​ + 9 ( sin 2 A + cos 2 A ) + 16 ( sin 2 B + cos 2 B ) + 24 ( sin Acos B + cos Asin B ) = 37 ​ Dengan identitas trigonometri sin 2 α + cos 2 α = 1 ,maka persamaan di atas menjadi seperti berikut. 9 ( 1 ) + 16 ( 1 ) + 24 ( sin A cos B + cos A sin B ) 9 + 16 + 24 ( sin A cos B + cos A sin B ) 25 + 24 ( sin A cos B + cos A sin B ) 25 + 24 ( sin A cos B + cos A sin B ) − 25 24 ( sin A cos B + cos A sin B ) 24 ( sin A cos B + cos A sin B ) ÷ 24 sin A cos B + cos A sin B ​ = = = = = = = ​ 37 37 37 37 − 25 12 12 ÷ 24 2 1 ​ ​ Karena sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B , persamaan di atas menjadi sebagai berikut. Kemudian, kita ingat kembali bahwa jumlah sudut pada segitiga adalah . Karena A BC adalah segitiga, jumlah seluruh sudutnya adalah sebagai berikut. A + B + C = 18 0 ∘ Oleh karena itu, C = 18 0 ∘ − ( A + B ) . Dengan demikian, didapat nilai sin C sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah A.