Pertanyaan

Jika lingkaran x 2 + y 2 − 4 a x + 2 b y = 0 mempunyai jari-jari 2dan menyinggung x − y = 0 dengan dan b bilangan real positif, maka nilai dari a + b adalah ....

Jika lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 b y = 0$ mempunyai jari-jari 2 dan menyinggung $x - y = 0$ dengan $a$ dan $b$ bilangan real positif, maka nilai dari $a + b$ adalah ....

$\frac{1}{2} 2$
$2$
$1 \frac{1}{2} 2$
$22$
$2 \frac{1}{2} 2$

F. Ayudhita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 − 4 a x + 2 b y = 0 mempunyai jari-jari 2dan menyinggung x − y = 0 dengan dan b bilangan real positif. Lalu, ditanyakan nilai dari a + b . Ingat rumus jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berikut. r = ( 4 A 2 ) + ( 4 B 2 ) − C Diketahuilingkaran x 2 + y 2 − 4 a x + 2 b y = 0 mempunyai jari-jari 2sehingga dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh persamaan sebagai berikut. r ( 4 A 2 ) + ( 4 B 2 ) − C ( 4 A 2 ) + ( 4 B 2 ) − C 4 ( − 4 a ) 2 + 4 ( 2 b ) 2 − 0 4 16 a 2 + 4 4 b 2 4 a 2 + b 2 = = = = = = 2 2 2 2 4 4 4 Dari x − y = 0 , maka diperoleh perhitungan berikut. x − y x = = 0 y Kemudian, substitusikan x = y ke x 2 + y 2 − 4 a x + 2 b y = 0 sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut. x 2 + y 2 − 4 a x + 2 b y = 0 y 2 + y 2 − 4 a y + 2 b y = 0 2 y 2 + ( − 4 a + 2 b ) y = 0 Lingkaran x 2 + y 2 − 4 a x + 2 b y = 0 menyinggung x − y = 0 , maka D = 0 . Lalu, diperoleh persamaan sebagai berikut. D ( − 4 a + 2 b ) 2 − 4 ( 2 ) ( 0 ) 16 a 2 − 16 ab + 4 b 2 − 0 4 ( 4 a 2 − 4 ab + b 2 ) 4 a 2 − 4 ab + b 2 − 4 ab 4 ab 4 ab ab a = = = = = = = = = = 0 0 0 0 0 − 4 a 2 − b 2 4 a 2 + b 2 4 1 b 1 Selanjutnya, substitusi a = b 1 ke 4 a 2 + b 2 = 4 , maka diperoleh perhitungan sebagai berikut. 4 a 2 + b 2 4 ( b 1 ) 2 + b 2 b 2 4 + b 2 4 + b 4 b 4 − 4 b 2 + 4 ( b 2 − 2 ) 2 b 2 − 2 b 2 b = = = = = = = = = 4 4 4 4 b 2 0 0 0 2 ± 2 Karena dan b bilangan real positif, maka b = 2 . Nilai dapat ditentukan sebagai berikut. a = = = = b 1 2 1 2 1 ⋅ 2 2 2 1 2 Oleh karena itu, diperoleh a = 2 1 2 dan b = 2 sehingga nilai dari a + b dapat ditentukan sebagai berikut. a + b = = = = 2 1 2 + 2 2 1 2 + 2 2 2 2 3 2 1 2 1 2 Dengan demikian, nilai dari a + b adalah 1 2 1 2 . Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 b y = 0$ mempunyai jari-jari 2 dan menyinggung $x - y = 0$ dengan $a$ dan $b$ bilangan real positif. Lalu, ditanyakan nilai dari $a + b$ .

Ingat rumus jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berikut.

$r = (\frac{A ^{2}}{4}) + (\frac{B ^{2}}{4}) - C$

Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 b y = 0$ mempunyai jari-jari 2 sehingga dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh persamaan sebagai berikut.

$r (\frac{A ^{2}}{4}) + (\frac{B ^{2}}{4}) - C (\frac{A ^{2}}{4}) + (\frac{B ^{2}}{4}) - C \frac{( - 4 a ) ^{2}}{4} + \frac{( 2 b ) ^{2}}{4} - 0 \frac{16 a ^{2}}{4} + \frac{4 b ^{2}}{4} 4 a^{2} + b^{2} = = = = = = 22 2^{2} 444$

Dari $x - y = 0$ , maka diperoleh perhitungan berikut.

$x - y x = = 0 y$

Kemudian, substitusikan $x = y$ ke $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 b y = 0$ sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut.

$x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 b y = 0 y^{2} + y^{2} - 4 a y + 2 b y = 0 2 y^{2} + (- 4 a + 2 b) y = 0$

Lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 b y = 0$ menyinggung $x - y = 0$ , maka $D = 0$ . Lalu, diperoleh persamaan sebagai berikut.

$D (- 4 a + 2 b)^{2} - 4 (2) (0) 16 a^{2} - 16 ab + 4 b^{2} - 0 4 (4 a^{2} - 4 ab + b^{2}) 4 a^{2} - 4 ab + b^{2} - 4 ab 4 ab 4 ab ab a = = = = = = = = = = 00000 - 4 a^{2} - b^{2} 4 a^{2} + b^{2} 41 \frac{1}{b}$

Selanjutnya, substitusi $a = \frac{1}{b}$ ke $4 a^{2} + b^{2} = 4$ , maka diperoleh perhitungan sebagai berikut.

$4 a^{2} + b^{2} 4 (\frac{1}{b})^{2} + b^{2} \frac{4}{b ^{2}} + b^{2} 4 + b^{4} b^{4} - 4 b^{2} + 4 (b^{2} - 2)^{2} b^{2} - 2 b^{2} b = = = = = = = = = 444 4 b^{2} 0002 \pm 2$

Karena $a$ dan $b$ bilangan real positif, maka $b = 2$ . Nilai $a$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$a = = = = \frac{1}{b} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \frac{1}{2} 2$

Oleh karena itu, diperoleh $a = \frac{1}{2} 2$ dan $b = 2$ sehingga nilai dari $a + b$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$a + b = = = = \frac{1}{2} 2 + 2 \frac{1}{2} 2 + \frac{2}{2} 2 \frac{3}{2} 2 1 \frac{1}{2} 2$

Dengan demikian, nilai dari $a + b$ adalah $1 \frac{1}{2} 2$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Jika f ( x ) = 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x + ... untuk 3 π ≤ x ≤ 2 π , maka nilai dari ∫ 3 π 2 π f ( x ) d x adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah toko makananmenyediakan es krim dengan 7 rasa berbeda. Banyak cara seorang pembeli dapat memilih 6 es krim dengan 4 rasa berbeda adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui P ( x ) suatu polinomial. Jika P ( x − 2 ) dan P ( x + 3 ) masing-masing memberikan sisa 3 dan − 2 apabila masing-masing dibagi oleh x + 1 , maka sisa pembagian P ( x ) oleh x 2 + x − 6 adal...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika x → 0 lim ( f ( x ) + g ( x ) 1 ) = 6 dan x → 0 lim ( f ( x ) − g ( x ) 1 ) = 2 , maka nilai dari x → 0 lim ( g ( x ) f ( x ) ) adalah ....

3.6

Jawaban terverifikasi

Jika x → 0 lim ( f ( x ) + g ( x ) 1 ) = 6 dan x → 0 lim ( f ( x ) − g ( x ) 1 ) = 2 , maka nilai dari x → 0 lim ( g ( x ) f ( x ) ) adalah ....

3.6

Jawaban terverifikasi