Pertanyaan

Jika x  = 1 , buktikan bahwa: 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n .

Jika $x \neq = 1$ , buktikan bahwa:

$1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} = \frac{1 - x ^{n}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{n x ^{n}}{1 - x}$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

Y. Fathoni

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta.

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n untuk x  = 1 ..

terbukti bahwa

1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} = \frac{1 - x ^{n}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{n x ^{n}}{1 - x}

untuk

x \neq = 1

Pembahasan

Ingat langkah pembuktian dengan induksi matematika. Buktikan benar P ( n ) dengan nilai n = 1 . Asumsikan pernyataan benar untuk n = k . Buktikan pernyataan n = k + 1 bernilai benar. Akan dibuktikan bahwa 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n untuk x  = 1 . Dengan menggunakan langkah-langkah pembuktian induksi matematika diperoleh: 1. Akan dibuktikan benar P ( n ) dengan nilai n = 1 . 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 1 1 1 1 1 = = = = = = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n ( 1 − x ) 2 1 − x 1 − 1 − x 1 x 1 ( 1 − x ) ( 1 − x ) 2 ( 1 − x ) 1 − 1 − x x 1 − x 1 − 1 − x x 1 − x 1 − x 1 ( terbukti ) Langkah pertama terbukti benar karena ruas kiri dan ruas kanannya sama. 2.Asumsikan pernyataan benar untuk n = k . Diperoleh sebagai berikut. 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + k x k − 1 = = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n ( 1 − x ) 2 1 − x k − 1 − x k x k 3. Akan dibuktikan pernyataan n = k + 1 bernilai benar. Sehingga deret tersebut menjadi: 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + k x k − 1 + ( k + 1 ) x ( k + 1 ) − 1 Serta hasilnya menjadi ( 1 − x ) 2 1 − x ( k + 1 ) − 1 − x ( k + 1 ) x ( k + 1 ) Gunakan informasi pada langkah kedua, yaitu 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + k x k − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x k − 1 − x k x k Perhatikan pembuktian berikut. = = = = = = = = = = = 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + k x k − 1 + ( k + 1 ) x ( k + 1 ) − 1 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + k x k − 1 + ( k + 1 ) x k [ ( 1 − x ) 2 1 − x k − 1 − x k x k ] + ( k + 1 ) x k ( 1 − x ) 2 1 − x k − 1 − x k x k + k x k + x k ( 1 − x ) 2 1 − x k − 1 − x k x k + ( 1 − x ) ( 1 − x ) k x k + ( 1 − x ) ( 1 − x ) x k ( 1 − x ) 2 1 − x k − 1 − x k x k + ( 1 − x ) k x k − k x k + 1 + ( 1 − x ) x k − x k + 1 ( 1 − x ) 2 1 − x k − 1 − x k x k + ( 1 − x ) k x k − ( 1 − x ) k x k + 1 + ( 1 − x ) x k − ( 1 − x ) x k + 1 ( 1 − x ) 2 1 − x k − ( 1 − x ) k x k + 1 + ( 1 − x ) x k − ( 1 − x ) x k + 1 ( 1 − x ) 2 1 − x k + ( 1 − x ) x k − ( 1 − x ) k x k + 1 − ( 1 − x ) x k + 1 ( 1 − x ) 2 1 − x k + ( 1 − x ) x k − ( 1 − x ) ( k x k + 1 + x k + 1 ) ( 1 − x ) 2 1 − x k + x k − x k + 1 − ( 1 − x ) ( ( k + 1 ) x k + 1 ) ( 1 − x ) 2 1 − x k + 1 − ( 1 − x ) ( k + 1 ) x k + 1 Berdasarkan hasil tersebut, maka langkah ketiga terbukti. Berdasarkan ketiga langkah tersebut dan memenuhi semua langkah induksi matematika sehingga sudah terbukti. Dengan demikian, terbukti bahwa 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n untuk x  = 1 ..

Ingat langkah pembuktian dengan induksi matematika.

Buktikan benar $P (n)$ dengan nilai $n = 1$ .
Asumsikan pernyataan benar untuk $n = k$ .
Buktikan pernyataan $n = k + 1$ bernilai benar.

Akan dibuktikan bahwa $1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} = \frac{1 - x ^{n}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{n x ^{n}}{1 - x}$ untuk $x \neq = 1$ .

Dengan menggunakan langkah-langkah pembuktian induksi matematika diperoleh:

1. Akan dibuktikan benar $P (n)$ dengan nilai $n = 1$ .

$1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} 11111 = = = = = = \frac{1 - x ^{n}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{n x ^{n}}{1 - x} \frac{1 - x ^{1}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{1 x ^{1}}{1 - x} \frac{( 1 - x ) ^{1}}{_{(1 - x)} ( 1 - x ) ^{2}} - \frac{x}{1 - x} \frac{1}{1 - x} - \frac{x}{1 - x} \frac{1 - x}{1 - x} 1 (terbukti)$

Langkah pertama terbukti benar karena ruas kiri dan ruas kanannya sama.

2. Asumsikan pernyataan benar untuk $n = k$ . Diperoleh sebagai berikut.

$1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + k x^{k - 1} = = \frac{1 - x ^{n}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{n x ^{n}}{1 - x} \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k}}{1 - x}$

3. Akan dibuktikan pernyataan $n = k + 1$ bernilai benar.

Sehingga deret tersebut menjadi:

$1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + k x^{k - 1} + (k + 1) x^{(k + 1) - 1}$

Serta hasilnya menjadi

$\frac{1 - x ^{(k + 1)}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{( k + 1 ) x ^{(k + 1)}}{1 - x}$

Gunakan informasi pada langkah kedua, yaitu

$1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + k x^{k - 1} = \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k}}{1 - x}$

Perhatikan pembuktian berikut.

$= = = = = = = = = = = 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + k x^{k - 1} + (k + 1) x^{(k + 1) - 1} 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + k x^{k - 1} + (k + 1) x^{k} [\frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k}}{1 - x}] + (k + 1) x^{k} \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k}}{1 - x} + k x^{k} + x^{k} \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k}}{1 - x} + \frac{( 1 - x ) k x ^{k}}{( 1 - x )} + \frac{( 1 - x ) x ^{k}}{( 1 - x )} \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k}}{1 - x} + \frac{k x ^{k} - k x ^{k + 1}}{( 1 - x )} + \frac{x ^{k} - x ^{k + 1}}{( 1 - x )} \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k}}{1 - x} + \frac{k x ^{k}}{( 1 - x )} - \frac{k x ^{k + 1}}{( 1 - x )} + \frac{x ^{k}}{( 1 - x )} - \frac{x ^{k + 1}}{( 1 - x )} \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{k x ^{k + 1}}{( 1 - x )} + \frac{x ^{k}}{( 1 - x )} - \frac{x ^{k + 1}}{( 1 - x )} \frac{1 - x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} + \frac{x ^{k}}{( 1 - x )} - \frac{k x ^{k + 1}}{( 1 - x )} - \frac{x ^{k + 1}}{( 1 - x )} \frac{1 - x ^{k} + ( 1 - x ) x ^{k}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{( k x ^{k + 1} + x ^{k + 1} )}{( 1 - x )} \frac{1 - x ^{k} + x ^{k} - x ^{k + 1}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{( ( k + 1 ) x ^{k + 1} )}{( 1 - x )} \frac{1 - x ^{k + 1}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{( k + 1 ) x ^{k + 1}}{( 1 - x )}$

Berdasarkan hasil tersebut, maka langkah ketiga terbukti.

Berdasarkan ketiga langkah tersebut dan memenuhi semua langkah induksi matematika sehingga sudah terbukti.

Dengan demikian, terbukti bahwa $1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n x^{n - 1} = \frac{1 - x ^{n}}{( 1 - x ) ^{2}} - \frac{n x ^{n}}{1 - x}$ untuk $x \neq = 1$ ..

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap notasi sigma berikut. a. k = 1 ∑ n k 2 + k 1 = n + 1 n

1.0

Jawaban terverifikasi

Buktikanlah. d. k = 1 ∑ n 2 k − 1 2 k − 1 = 6 − 2 n − 1 2 n + 3

4.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan pernyataan 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 2 ( n + 2 1 ) 2 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi