Pertanyaan

Jari-jari salah satu lingkaran yang melalui titik ( 1 , 5 ) dan titik ( 4 , 1 ) dan menyinggung sumbu y adalah ....

Jari-jari salah satu lingkaran yang melalui titik $(1, 5)$ dan titik $(4, 1)$ dan menyinggung sumbu $y$ adalah ....

$4$
$\frac{7}{2}$
$3$
$\frac{5}{2}$
$2$

Z. Apriani

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Institut Teknologi Bandung

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Ingat persamaan lingkaran dengan titik pusat di P ( a , b ) dan jari-jari r berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Ingat pula jarak dua titik A ( x A , y A ) dan B ( x B , y B ) berikut: ∣ AB ∣ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 Diketahui: Titik-titik dilalui ( 1 , 5 ) dan ( 4 , 1 ) . Menyinggung sumbu y . Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut: Dimisalkan bahwa titik pusat lingkaran berada pada titik P ( a , b ) . Karena lingkaran menyinggung sumbu y , makajari-jari r = a . Sehingga jarak ∣ AP ∣ = ∣ BP ∣ = a . Jarak titik A ( 1 , 5 ) dengan P ( a , b ) adalah sebagai berikut: ∣ AP ∣ a 2 a 2 a 2 a 2 − a 2 0 = = = = = = ( x P − x A ) 2 + ( y P − y A ) 2 ( ( a − 1 ) 2 + ( b − 5 ) 2 ) 2 ( a − 1 ) 2 + ( b − 5 ) 2 a 2 − 2 a + 1 + b 2 − 10 b + 25 b 2 − 2 a − 10 b + 26 b 2 − 2 a − 10 b + 26 Jarak titik B ( 4 , 1 ) dengan P ( a , b ) adalah sebagai berikut: ∣ BP ∣ a 2 a 2 a 2 a 2 − a 2 0 = = = = = = ( x P − x B ) 2 + ( y P − y B ) 2 ( ( a − 4 ) 2 + ( b − 1 ) 2 ) 2 ( a − 4 ) 2 + ( b − 1 ) 2 a 2 − 8 a + 16 + b 2 − 2 b + 1 b 2 − 8 a − 2 b + 17 b 2 − 8 a − 2 b + 17 Eliminasi kedua persamaan di atas seperti berikut: b 2 b 2 − − 2 a 8 a 6 a − − − 10 b 2 b 8 b + + + 26 17 9 6 a a = = = = = 0 0 0 8 b 3 4 b − + − 9 2 3 Substitusi persamaan yang diperoleh ke dalam salah satu persamaan di atas: b 2 − 2 a − 10 b + 26 b 2 − 2 ( 3 4 b − 2 3 ) − 10 b + 26 b 2 − 3 8 b + 3 − 3 30 b + 26 b 2 − 3 38 b + 29 3 b 2 − 38 b + 87 = = = = = 0 0 0 0 0 Hitung akar-akar persamaan kuadrat di atas seperti berikut: b 1 , 2 = = = = 2 ⋅ 3 + 38 ± ( − 38 ) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 87 6 38 ± 1444 − 1044 6 38 ± 400 6 38 ± 20 Sehingga nilai b yaitu b 1 = 6 58 dan b 2 = 3 . Berdasarkan kedua nilai b di atas, maka nilai-nilai dapat ditentukan sebagai berikut: Ketika b 1 = 6 58 , maka: a 1 = = = = 3 4 ( 3 29 ) − 2 3 9 116 − 2 3 18 232 − 27 18 205 Ketika b 2 = 3 , maka: a 2 = = = = = 3 4 ( 3 ) − 2 3 3 12 − 2 3 6 24 − 9 6 15 2 5 Karena jari-jari r = a , maka jari-jari lingkaran-lingkaran tersebut adalah r = 18 205 dan r = 2 5 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D.

Ingat persamaan lingkaran dengan titik pusat di $P (a, b)$ dan jari-jari $r$ berikut:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Ingat pula jarak dua titik $A (x_{A}, y_{A})$ dan $B (x_{B}, y_{B})$ berikut:

$∣ AB ∣ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

Diketahui:

Titik-titik dilalui $(1, 5)$ dan $(4, 1)$ .
Menyinggung sumbu $y$ .

Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Dimisalkan bahwa titik pusat lingkaran berada pada titik $P (a, b)$ . Karena lingkaran menyinggung sumbu $y$ , maka jari-jari $r = a$ .
Sehingga jarak $∣ AP ∣ = ∣ BP ∣ = a$ .
Jarak titik $A (1, 5)$ dengan $P (a, b)$ adalah sebagai berikut:

$∣ AP ∣ a^{2} a^{2} a^{2} a^{2} - a^{2} 0 = = = = = = (x_{P} - x_{A})^{2} + (y_{P} - y_{A})^{2} ((a - 1)^{2} + (b - 5)^{2})^{2} (a - 1)^{2} + (b - 5)^{2} a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} - 10 b + 25 b^{2} - 2 a - 10 b + 26 b^{2} - 2 a - 10 b + 26$

Jarak titik $B (4, 1)$ dengan $P (a, b)$ adalah sebagai berikut:

$∣ BP ∣ a^{2} a^{2} a^{2} a^{2} - a^{2} 0 = = = = = = (x_{P} - x_{B})^{2} + (y_{P} - y_{B})^{2} ((a - 4)^{2} + (b - 1)^{2})^{2} (a - 4)^{2} + (b - 1)^{2} a^{2} - 8 a + 16 + b^{2} - 2 b + 1 b^{2} - 8 a - 2 b + 17 b^{2} - 8 a - 2 b + 17$

Eliminasi kedua persamaan di atas seperti berikut:

$b^{2} b^{2} - - 2 a 8 a 6 a - - - 10 b 2 b 8 b + + + 26179 6 a a = = = = = 000 8 b \frac{4}{3} b - + - 9 \frac{3}{2}$

Substitusi persamaan $a$ yang diperoleh ke dalam salah satu persamaan di atas:

$b^{2} - 2 a - 10 b + 26 b^{2} - 2 (\frac{4}{3} b - \frac{3}{2}) - 10 b + 26 b^{2} - \frac{8}{3} b + 3 - \frac{30}{3} b + 26 b^{2} - \frac{38}{3} b + 29 3 b^{2} - 38 b + 87 = = = = = 00000$

Hitung akar-akar persamaan kuadrat di atas seperti berikut:

$b_{1, 2} = = = = \frac{+ 38 \pm ( - 38 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 87}{2 \cdot 3} \frac{38 \pm 1444 - 1044}{6} \frac{38 \pm 400}{6} \frac{38 \pm 20}{6}$

Sehingga nilai $b$ yaitu $b_{1} = \frac{58}{6}$ dan $b_{2} = 3$ .

Berdasarkan kedua nilai $b$ di atas, maka nilai-nilai $a$ dapat ditentukan sebagai berikut:

Ketika $b_{1} = \frac{58}{6}$ , maka:

$a_{1} = = = = \frac{4}{3} (\frac{29}{3}) - \frac{3}{2} \frac{116}{9} - \frac{3}{2} \frac{232 - 27}{18} \frac{205}{18}$

Ketika $b_{2} = 3$ , maka:

$a_{2} = = = = = \frac{4}{3} (3) - \frac{3}{2} \frac{12}{3} - \frac{3}{2} \frac{24 - 9}{6} \frac{15}{6} \frac{5}{2}$

Karena jari-jari $r = a$ , maka jari-jari lingkaran-lingkaran tersebut adalah $r = \frac{205}{18}$ dan $r = \frac{5}{2}$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (3 rating)

Pertanyaan serupa

Lingkaran dengan pusat ( 1 , 4 ) dan jari-jari 6 melalui titik ( a − 1 , a − 4 ) . a.Tentukan nilai-nilai yang mungkin b.Tentukan titik-titik yang dilalui lingkaran tersebut berdasarkan jawaban (a).

0.0

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik Q ( − 8 , 9 ) dan R ( − 4 , 3 ) . Tentukan tempat kedudukan titik P sehingga besar sudut

4.5

Jawaban terverifikasi

Sebuah titik P bergerak sedemikian hingga jaraknya terhadap titik O ( 0 , 0 ) senantiasa = 2 kali jaraknya terhadap titik Q ( − 3 , 0 ) . Tempat kedudukan titik P adalah lingkaran yang berpusat di A d...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(a,b),B(-a,-b) dankurva C terletak pada bidang x O y . Tltik P bergerak sepanjang kurva C . Jika hasilkali gradien garis PA dan gradien garis PB selalu sama dengan konstanta k ,maka C...

4.9

Jawaban terverifikasi