Pertanyaan

Diketahui titik A(a,b),B(-a,-b) dankurva C terletak pada bidang x O y . Tltik P bergerak sepanjang kurva C . Jika hasilkali gradien garis PA dan gradien garis PB selalu sama dengan konstanta k ,maka C merupakan lingkaran jika ...

Diketahui titik $A(a, b), B(-a, -b)$ dan kurva $C$ terletak pada bidang $x O y$ . Tltik $P$ bergerak sepanjang kurva $C$ . Jika hasil kali gradien garis $PA$ dan gradien garis $PB$ selalu sama dengan konstanta $k$ , maka $C$ merupakan lingkaran jika ...

$k=-1$
$k<-1$
$k=1$
$k>0$
$k sembarang$

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A.

Pembahasan

Jawaban yang benar dari pertanyaan tersebut adalah A. Ingat! Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r adalah: x 2 + y 2 = r 2 Gradien antara dua titik: m = ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) Pada soal diketahui koordinat titik di A ( a,b ) dan B(-a,-b) sertadimisalkan titik P memiliki titik koordinat ( x , y ) , maka gradien PA adalah sebagai berikut: P A = = ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) PB = ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) ( x − a ) ( y − b ) = ( x − ( − a ) ) ( y − ( − b )) = ( x + a ) ( y + b ) Hasil kali gradien sama dengan konstanta k , sehingga diperoleh: ( x − a ) ( y − b ) × ( x + a ) ( y + b ) x 2 − a 2 y 2 − b 2 y 2 − b 2 y 2 − b 2 y 2 − k x 2 = = = = = k k k ( x 2 − a 2 ) k x 2 − k a 2 − k a 2 + b 2 Dari persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan lingkaran yang berpusatdi (0,0) dan berjari-jari r jika k = − 1 , sehingga diperoleh: y 2 − k x 2 y 2 − ( − 1 ) x 2 y 2 + x 2 x 2 + y 2 = = = = − k a 2 + b 2 − ( − 1 ) a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 Jadi dari perhitungan di atas dapat disimpulkan bahwa, kurva C merupakan lingkarandi (0,0) dan berjari-jari r apabila k = − 1 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Jawaban yang benar dari pertanyaan tersebut adalah A.

Ingat!

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0, 0)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Gradien antara dua titik:

$m = \frac{( y _{2} - y _{1} )}{( x _{2} - x _{1} )}$

Pada soal diketahui koordinat titik di $A (a, b)$ dan $B(-a, -b)$ serta dimisalkan titik $P$ memiliki titik koordinat $(x, y)$ , maka gradien PA adalah sebagai berikut:

$P A = = \frac{( y _{2} - y _{1} )}{( x _{2} - x _{1} )} PB = \frac{( y _{2} - y _{1} )}{( x _{2} - x _{1} )} \frac{( y - b )}{( x - a )} = \frac{( y - ( - b ))}{( x - ( - a ) )} = \frac{( y + b )}{( x + a )}$

Hasil kali gradien sama dengan konstanta $k$ , sehingga diperoleh:

$\frac{( y - b )}{( x - a )} \times \frac{( y + b )}{( x + a )} \frac{y ^{2} - b ^{2}}{x ^{2} - a ^{2}} y^{2} - b^{2} y^{2} - b^{2} y^{2} - k x^{2} = = = = = k k k (x^{2} - a^{2}) k x^{2} - k a^{2} - k a^{2} + b^{2}$

Dari persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan lingkaran yang berpusat di $(0, 0)$ dan berjari-jari $r$ jika $k = - 1$ , sehingga diperoleh:

$y^{2} - k x^{2} y^{2} - (- 1) x^{2} y^{2} + x^{2} x^{2} + y^{2} = = = = - k a^{2} + b^{2} - (- 1) a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2}$

Jadi dari perhitungan di atas dapat disimpulkan bahwa, kurva $C$ merupakan lingkaran di $(0, 0)$ dan berjari-jari $r$ apabila $k = - 1$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.9 (12 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui titik A ( − 8 , 0 ) , B ( − 2 , 0 ) dan himpunan { P ( x , y ) ∣ PA = 2 PB } . Tentukan himpunan titik tersebut dan garis singgungnya yang melalui titik ( 0 , − 5 ) .

3.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik P ( x , y ) yang memenuhi setiap bentuk berikut: c. R ( 1 , 2 ) dan S ( 9 , 18 ) dengan { P ( x , y ) ∣ PR ÷ PS = 1 ÷ 3 }

4.5

Jawaban terverifikasi

Suatu segmen garis AB bergerak dengan aturan A bergerak sepanjang sumbu X dan B bergerak sepanjang sumbu Y yang diketahui panjang AB = k . a. Tentukan tempat kedudukan titik tengah AB .

4.7

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , − 1 ) dan B ( 6 , 2 ) . Tentukan tempat kedudukan titik P ( x , y ) sehingga berlaku ∣ A P ∣ 2 = 2 ∣ BP ∣ 2 . Lalu, gambarlah grafik tempat kedudukan P .

4.7

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik P ( x , y ) yang memenuhi setiap bentuk berikut: b. K ( 16 , 0 ) dan M ( 1 , 0 ) dengan { P ( x , y ) ∣ PK ÷ PM = 4 ÷ 1 }

4.6

Jawaban terverifikasi