Pertanyaan

Hitunglah nilai dan b yang memenuhi kesamaan limit berikut. d. x → 2 lim x − 2 x 2 + a x − b = 5

Hitunglah nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi kesamaan limit berikut.

d. $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x - b}{x - 2} = 5$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

P. Anggrayni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dan yang memenuhi kesamaan limit tersebut adalah dan .

nilai

dan

yang memenuhi kesamaan limit tersebut adalah

dan

Pembahasan

Diketahui .Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh Perhatikan bahwa penyebut di ruas kiri pada kesamaan (1) bernilai , sedangkan nilai limit di ruas kananadalah . Hal ini tidaklah mungkin, kecuali pecahan di sebelah kiri merupakan bentuk tak tentu . Oleh karena itu, untuk menentukan nilai , kita akan menggunakan aturan L'Hôpital, yaitu . Perhatikan bahwa Selanjutnya, untuk menentukan nilai , kitasubstitusikannilai ke kesamaan (1). Maka Ingat bahwa saat kita menggunakan metode substitusi, limit tersebut menghasilkan bentuk tak tentu . Maka pastilah ruas kiri pada kesamaan (2) juga merupakan bentuk . Akibatnya Jadi,nilai dan yang memenuhi kesamaan limit tersebut adalah dan .

Diketahui $begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow 2 of fraction numerator x squared plus a x minus b over denominator x minus 2 end fraction equals 5 end style$ . Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 2 of fraction numerator x squared plus a x minus b over denominator x minus 2 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 2 squared plus a times 2 minus b over denominator 2 minus 2 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 4 minus 2 a minus b over denominator 0 end fraction end cell equals cell 5 number space number space number space number space number space horizontal ellipsis left parenthesis 1 right parenthesis end cell end table$

Perhatikan bahwa penyebut di ruas kiri pada kesamaan (1) bernilai , sedangkan nilai limit di ruas kanan adalah . Hal ini tidaklah mungkin, kecuali pecahan di sebelah kiri merupakan bentuk tak tentu 0 over 0 .

Oleh karena itu, untuk menentukan nilai , kita akan menggunakan aturan L'Hôpital, yaitu

$limit as x rightwards arrow a of fraction numerator f open parentheses x close parentheses over denominator g open parentheses x close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow a of fraction numerator f apostrophe open parentheses x close parentheses over denominator g apostrophe open parentheses x close parentheses end fraction$ .

Perhatikan bahwa

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 2 of fraction numerator x squared plus a x minus b over denominator x minus 2 end fraction end cell equals 5 row cell limit as x rightwards arrow 2 of fraction numerator 2 x plus a over denominator 1 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 2 times 2 plus a over denominator 1 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 4 plus a over denominator 1 end fraction end cell equals 5 row cell 4 plus a end cell equals 5 row a equals cell 5 minus 4 end cell row a equals 1 end table$

Selanjutnya, untuk menentukan nilai , kita substitusikan nilai a equals 1 ke kesamaan (1). Maka

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 4 minus 2 times 1 minus b over denominator 0 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 4 minus 2 minus b over denominator 0 end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator 2 minus b over denominator 0 end fraction end cell equals cell 5 number space number space number space number space horizontal ellipsis left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table$

Ingat bahwa saat kita menggunakan metode substitusi, limit tersebut menghasilkan bentuk tak tentu 0 over 0 . Maka pastilah ruas kiri pada kesamaan (2) juga merupakan bentuk . Akibatnya

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 minus b end cell equals 0 row b equals 2 end table

Jadi, nilai dan yang memenuhi kesamaan limit tersebut adalah dan .