Himpunan penyelesaian dari 2 cos 5 x − 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2 π adalah...

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah B. Persamaan Trigonometri Dasar Penyelesaian persamaan trigonometri dasar bentuk cos x = a dilakukan dengan cara: mengubah bentuk cos x = a menjadi cos x = cos a . Ingat persamaan trigonometri dasar berikut: Jika cos x = cos α , nilai x = α + k ⋅ 2 π atau x = − α + k ⋅ 2 π . Diketahui 2 cos 5 x − 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2 π , misal cos 5 x = p , maka: 2 p − 1 2 p p ​ = = = ​ 0 1 2 1 ​ ​ Karena cos 5 x = p , maka: cos 5 x = p cos 5 x = 2 1 ​ cos 5 x = cos 6 0 ∘ cos 5 x = cos 3 1 ​ π Diperoleh: 5 x x ​ = = ​ 3 1 ​ π + k ⋅ 2 π 15 1 ​ π + k ⋅ 5 2 ​ π ​ atau 5 x x ​ = = ​ − 3 1 ​ π + k ⋅ 2 π − 15 1 ​ π + k ⋅ 5 2 ​ π ​ Untuk k = 0 , maka: x ​ = = ​ 15 1 ​ π + 0 ⋅ 5 2 ​ π 15 1 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = ​ − 15 1 ​ π + 0 ⋅ 5 2 ​ π − 15 1 ​ π ​ (Tidak Memenuhi) Untuk k = 1 , maka: x ​ = = = = ​ 15 1 ​ π + 1 ⋅ 5 2 ​ π 15 1 ​ π + 5 2 ​ π 15 π + 6 π ​ 15 7 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = = ​ − 15 1 ​ π + 1 ⋅ 5 2 ​ π − 15 1 ​ π + 5 2 ​ π 15 − π + 6 π ​ 15 5 ​ π 3 1 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 2 , maka: x ​ = = = = ​ 15 1 ​ π + 2 ⋅ 5 2 ​ π 15 1 ​ π + 5 4 ​ π 15 π + 12 π ​ 15 13 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ − 15 1 ​ π + 2 ⋅ 5 2 ​ π − 15 1 ​ π + 5 4 ​ π 15 − π + 12 π ​ 15 11 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 3 , maka: x ​ = = = = ​ 15 1 ​ π + 3 ⋅ 5 2 ​ π 15 1 ​ π + 5 6 ​ π 15 π + 18 π ​ 15 19 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ − 15 1 ​ π + 3 ⋅ 5 2 ​ π − 15 1 ​ π + 5 6 ​ π 15 − π + 18 π ​ 15 17 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 4 , maka: x ​ = = = = = ​ 15 1 ​ π + 4 ⋅ 5 2 ​ π 15 1 ​ π + 5 8 ​ π 15 π + 24 π ​ 15 25 ​ π 3 5 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ − 15 1 ​ π + 4 ⋅ 5 2 ​ π − 15 1 ​ π + 5 8 ​ π 15 − π + 24 π ​ 15 23 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 5 , maka: x ​ = = = = ​ 15 1 ​ π + 5 ⋅ 5 2 ​ π 15 1 ​ π + 5 10 ​ π 15 π + 30 π ​ 15 31 ​ π ​ (Tidak Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ − 15 1 ​ π + 5 ⋅ 5 2 ​ π − 15 1 ​ π + 5 10 ​ π 15 − π + 30 π ​ 15 29 ​ π ​ (Memenuhi) Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah { 15 1 ​ π , 3 1 ​ π , 15 7 ​ π , 15 11 ​ π , 15 13 ​ π , 15 17 ​ π , } { 15 19 ​ π , 15 23 ​ π , 3 5 ​ π , 15 29 ​ π } . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.