Pertanyaan

Himpunan penyelesaian dari persamaan 3 cos 2 x − 3 sin 2 x + 2 sin x cos x = 1 pada interval − π < x < π adalah ....

Himpunan penyelesaian dari persamaan $3 cos^{2} x - 3 sin^{2} x + 2 sin x cos x = 1$ pada interval $- π < x < π$ adalah ....

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Natalia

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Perhatikan bahwa Ingat bahwa dengan syarat dan Maka, dari dengan dan , didapat dan Perhatikan bahwa A berhubungan dengan cos ⁡x dan B berhubungan dengan sin ⁡x. Kemudian A bernilai positif dan B bernilai positif. Kuadran dengan cosinus sudut yang bernilai positif dan sinus sudut yang bernilai positif terdapat pada kuadran I. Sehingga α berada pada kuadran I. Karena ,maka . Sehingga Maka Ingat bahwa pada persamaan , maka atau . Sehingga dari persamaan , didapat Atau Perhatikan bahwa pada soal diketahui interval , yang berarti . Untuk , Jika k = 0, maka x = 45° + 0⋅180° = 45°. Jika k = 1, maka x = 45° + 1⋅180° = 225° (tidak memenuhi). Jika k = 1, maka x = 45° + ( 1)⋅180° = 135°. Jika k = 2, maka x = 45° + ( 2)⋅180° = 315° (tidak memenuhi). Untuk , Jikak = 0, maka x = 15° + 0⋅180° = 15°. Jikak = 1, maka x = 15° + 1⋅180° = 165°. Jika k = 2, maka x = 15° + 2⋅180° = 345° (tidak memenuhi). Jika k = 1, maka x = 15° + ( 1)⋅180° = 195° (tidak memenuhi). Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan pada interval adalah . Karena interval pada soal adalah dalam radian, maka himpunan penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Perhatikan bahwa

Ingat bahwa

dengan syarat

dan

Maka, dari dengan dan , didapat

begin mathsize 14px style k equals square root of open parentheses square root of 3 close parentheses squared plus 1 squared end root k equals square root of 3 plus 1 end root k equals square root of 4 k equals 2 end style

dan

$begin mathsize 14px style alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses 1 third square root of 3 close parentheses end style$

Perhatikan bahwa A berhubungan dengan cos ⁡x dan B berhubungan dengan sin ⁡x. Kemudian A bernilai positif dan B bernilai positif.

Kuadran dengan cosinus sudut yang bernilai positif dan sinus sudut yang bernilai positif terdapat pada kuadran I. Sehingga α berada pada kuadran I.

Karena , maka .

Sehingga

Maka

Ingat bahwa pada persamaan , maka atau .

Sehingga dari persamaan , didapat

Atau

Perhatikan bahwa pada soal diketahui interval , yang berarti .

Untuk ,
Jika k = 0, maka x = 45° + 0⋅180° = 45°.
Jika k = 1, maka x = 45° + 1⋅180° = 225° (tidak memenuhi).
Jika k = 1, maka x = 45° + (1)⋅180° = 135°.
Jika k = 2, maka x = 45° + (2)⋅180° = 315° (tidak memenuhi).

Untuk ,
Jika k = 0, maka x = 15° + 0⋅180° = 15°.
Jika k = 1, maka x = 15° + 1⋅180° = 165°.
Jika k = 2, maka x = 15° + 2⋅180° = 345° (tidak memenuhi).
Jika k = 1, maka x = 15° + (1)⋅180° = 195° (tidak memenuhi).

Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan pada interval adalah .

Karena interval pada soal adalah dalam radian, maka himpunan penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.