Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 3 = cos 2 2 x dengan 0° < x < 180° adalah ....

Himpunan nilai x yang memenuhi sin²2x - 2 sin 2x - 3 = cos² 2x dengan 0° < x < 180° adalah ....

{90°}
{45°}
{45°, 135°}
{135°}
{45°, 90°, 135°}

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

M. Robo

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

kita punya himpunan nilai x yang memenuhi yaitu { 135°}

kita punya himpunan nilai x yang memenuhi yaitu {135°}

Pembahasan

Ingat bahwa cos 2 2 x + sin 2 2 x = 1 cos 2 2x = 1 -sin 2 2x maka sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 3 = cos 2 2 x sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 3 = 1 - sin 2 2 x 2 sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 4 = 0 Misalkan y = sin 2 x maka kita punya 2 y 2 - 2 y - 4 = 0 y 2 - y - 2 = 0 y - 2 y + 1 = 0 y = 2 atau y = -1 sin 2 x = 2 atau sin 2 x = -1 Ingat bahwa - 1 ≤ sin α ≤ 1 untuk setiap α . Sehingga sin 2 x = 2 tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memerhatikan sin 2 x = -1 Ingat bahwa sin ( - α) = - sin α sehingga sin (- 90°) = - sin 90° = -1 maka kita punya sin 2 x = sin ( - 90°) Persamaan sin x = sin a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = 180° - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya 2 x = -90° + k ∙ 360° x = -45° + k ∙ 180° Jika k = 0, maka x = -45° + ( 0) ∙ 180° = -45° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -45° + ( 1) ∙ 180° = -45° + 180° = 135° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 2, maka x = -45° + ( 2) ∙ 180° = -45° + 360° = 315° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya 2 x = 180° - ( - 90°) + k ∙ 360° 2 x = 270° + k ∙ 360° x = 135° + k ∙ 180° Jika k = -1, maka x = 135° + ( - 1) ∙ 180° = 135° - 180° = -45° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 135° + ( 0) ∙ 180° = 135° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 135° + ( 1) ∙ 180° = 135° + 180° = 315° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jadi, kita punya himpunan nilai x yang memenuhi yaitu { 135°}

Ingat bahwa

cos²2x + sin²2x = 1
cos² 2x = 1 - sin²2x

maka

sin²2x - 2 sin 2x - 3 = cos²2x
sin²2x - 2 sin 2x - 3 = 1 - sin²2x
2 sin²2x - 2 sin 2x - 4 = 0

Misalkan y = sin 2x maka kita punya

2y²- 2y - 4 = 0
y²- y - 2 = 0
y - 2y + 1 = 0
y = 2 atau y = -1
sin 2x = 2 atau sin 2x = -1

Ingat bahwa -1 ≤ sin α ≤ 1 untuk setiap α. Sehingga sin 2x = 2 tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memerhatikan sin 2x = -1

Ingat bahwa sin (-α) = -sin α sehingga sin (-90°) = -sin 90° = -1 maka kita punya

sin 2x = sin (-90°)

Persamaan sin x = sin a terpenuhi oleh

x = a + k∙360°

dan

x = 180° - a + k∙360°

dengan k ∈ N

Pertama kita punya

2x = -90° + k∙360°
x = -45° + k∙180°

Jika k = 0, maka x = -45° + (0)∙180° = -45°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = 1, maka x = -45° + (1)∙180° = -45° + 180° = 135°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 2, maka x = -45° + (2)∙180° = -45° + 360° = 315°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Selanjutnya, kita punya

2x = 180° - (-90°) + k∙360°
2x = 270° + k∙360°
x = 135° + k∙180°

Jika k = -1, maka x = 135° + (-1)∙180° = 135° - 180° = -45°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = 0, maka x = 135° + (0)∙180° = 135°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 1, maka x = 135° + (1)∙180° = 135° + 180° = 315°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.