Himpunan nilai x yang memenuhi sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 3 = cos 2 2 x dengan 0° < x < 180° adalah ....

Pembahasan

Ingat bahwa cos 2 2 x + sin 2 2 x = 1 cos 2 2x = 1 -sin 2 2x maka sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 3 = cos 2 2 x sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 3 = 1 - sin 2 2 x 2 sin 2 2 x - 2 sin 2 x - 4 = 0 Misalkan y = sin 2 x maka kita punya 2 y 2 - 2 y - 4 = 0 y 2 - y - 2 = 0 y - 2 y + 1 = 0 y = 2 atau y = -1 sin 2 x = 2 atau sin 2 x = -1 Ingat bahwa - 1 ≤ sin α ≤ 1 untuk setiap α . Sehingga sin 2 x = 2 tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memerhatikan sin 2 x = -1 Ingat bahwa sin ( - α) = - sin α sehingga sin (- 90°) = - sin 90° = -1 maka kita punya sin 2 x = sin ( - 90°) Persamaan sin x = sin a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = 180° - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya 2 x = -90° + k ∙ 360° x = -45° + k ∙ 180° Jika k = 0, maka x = -45° + ( 0) ∙ 180° = -45° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -45° + ( 1) ∙ 180° = -45° + 180° = 135° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 2, maka x = -45° + ( 2) ∙ 180° = -45° + 360° = 315° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya 2 x = 180° - ( - 90°) + k ∙ 360° 2 x = 270° + k ∙ 360° x = 135° + k ∙ 180° Jika k = -1, maka x = 135° + ( - 1) ∙ 180° = 135° - 180° = -45° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 135° + ( 0) ∙ 180° = 135° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 135° + ( 1) ∙ 180° = 135° + 180° = 315° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jadi, kita punya himpunan nilai x yang memenuhi yaitu { 135°}