Himpunan [3,6,9,10] diperbesar dengan menambahkan 1 elemen yang berbeda dari 4 bilangan yang ada. Median dan rata-rata yang dihasilkan bernilai sama. Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari jumlah semua kemungkinan bilangan yang dapat menjadi elemen tambahan pada himpunan tersebut adalah ....

Pembahasan

Misalkan bilangan yang ditambahkan adalah 1, maka urutan bilangan tersebut menjadi 1, 3, 6, 9, 10 sehingga mediannya adalah 6 dan rata-ratanya sebagai berikut. Perhatikan bahwa median dan rata-ratanya tidak sama. Jika bilangan yang ditambahkan lebih kecil dari 1, maka nilai rata-ratanya akan lebih kecil dari 5,8 sedangkan mediannya tetap 6. Jadi, haruslah bilangan yang ditambahkan lebih besar dari 1. Selanjutnya, misalkan bilangan yang ditambahkan adalah 2, maka urutan bilangan tersebut menjadi 2, 3, 6, 9, 10 sehingga mediannya adalah 6 dan rata-ratanyasebagai berikut. Jadi, 2 adalah salah satu bilangan yang ditambahkan tersebut. Selanjutnya, misalkan bilangan yang ditambahkan adalah 4, maka urutan bilangan tersebut menjadi 3, 4, 6, 9, 10 sehingga mediannya adalah 6 dan rata-ratanyasebagai berikut. Perhatikan bahwa median dan rata-ratanya tidak sama. Jadi, 4 bukan bilangan yang dimaksud. Selanjutnya, misalkan bilangan yang ditambahkan adalah 5, maka urutan bilangan tersebut menjadi 3, 5, 6, 9, 10 sehingga mediannya adalah 6 dan rata-ratanyasebagai berikut. Perhatikan bahwa median dan rata-ratanya tidak sama. Jadi, 5 bukan bilangan yang dimaksud. Selanjutnya, misalkan bilangan yang ditambahkan adalah 7, maka urutan bilangan tersebut menjadi 3, 6, 7, 9, 10 sehingga mediannya adalah 7 dan rata-ratanyasebagai berikut. Jadi, 7 adalah salah satu bilangan yang ditambahkan tersebut. Selanjutnya, misalkan bilangan yang ditambahkan adalah 8, maka urutan bilangan tersebut menjadi 3, 6, 8, 9, 10 sehingga mediannya adalah 8 dan rata-ratanyasebagai berikut. Perhatikan bahwa median dan rata-ratanya tidak sama. Jadi, 8 bukan bilangan yang dimaksud. Selanjutnya, misalkan bilangan yang ditambahkan adalah 11, maka urutan bilangan tersebut menjadi 3, 6, 9, 10, 11 sehingga mediannya adalah 9 dan rata-ratanyasebagai berikut. Perhatikan bahwa median dan rata-ratanya tidak sama. Jadi, 11 bukan bilangan yang dimaksud. Kemudian, perhatikan bahwa jika yang ditambahkan selanjutnya lebih besar dari 11, maka mediannya tetap 9. Artinya, haruslah bilangan yang ditambahkan selanjutnya adalah yang membuat jumlah nilainya 3, 6, 9, 10, dan bilangan tersebut sama dengan 45 agar rata-ratanya juga 9. Bilangan tersebut adalah 17. Jadi, 17 adalah salah satu bilangan yang ditambahkan tersebut. Lalu, perhatikan bahwa, jika bilangan yang ditambahkan selanjutnya lebih besar dari 11, maka rata-ratanya akan lebih besar dari 9 sedangkan mediannya tetap 9. Oleh karena itu, bisa kita simpulkan bahwa tidak ada lagi bilangan yang bisa ditambahkan ke himpunan tersebut. Jadi, bilangan-bilangan yang ditambahkan tersebut antara lain adalah 2, 7, dan 17. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah . Bilangan prima yang lebih kecil dari adalah dan yakni ada sebanyak bilangan. Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah D.