Hasil x → 0 lim ​ x ( sin 6 x − sin 2 x ) sin x ⋅ tan 3 x ​ adalah ....

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah C. Soal limit tersebut merupakan limit fungsi rigonometri yang memuat sinus dan tangen. Jika diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi, maka: lim x → 0 ​ x ( s i n 6 x − s i n 2 x ) s i n x ⋅ t a n 3 x ​ ​ = = = ​ 0 ( s i n 6 ( 0 ) − s i n 2 ( 0 ) ) s i n 0 ⋅ t a n 3 ( 0 ) ​ 0 ( 0 − 0 ) 0 ⋅ 0 ​ 0 0 ​ ​ Karena 0 0 ​ tidak tentu, maka soal limit tersebut perlu diselesaikan dengan cara lain. Ingat bahwa pada fungsi trigonometri terdapat rumus selisih sinussebagai berikut: sin α − sin β = 2 ⋅ cos ( 2 α + β ​ ) ⋅ sin ( 2 α − β ​ ) Pada limit fungsi trigonometri yang memuat sinus dan tangen, belaku: x → 0 lim ​ a x sin a x ​ = 1 x → 0 lim ​ sin a x a x ​ = 1 x → 0 lim ​ a x tan a x ​ = 1 Pada bagian limit fungsi trigonometri yang memuat cosinus, dapat disubstitusi langsung. Diperoleh, lim x → 0 ​ x ( s i n 6 x − s i n 2 x ) s i n x ⋅ t a n 3 x ​ = lim x → 0 ​ x ⋅ 2 ⋅ c o s ( 2 6 x + 2 x ​ ) ⋅ s i n ( 2 6 x − 2 x ​ ) s i n x ⋅ t a n 3 x ​ = 2 1 ​ lim x → 0 ​ x ⋅ c o s 4 x ⋅ s i n 2 x s i n x ⋅ t a n 3 x ​ = 2 1 ​ lim x → 0 ​ x s i n x ​ ⋅ lim x → 0 ​ c o s 4 x 1 ​ ⋅ lim x → 0 ​ s i n 2 x t a n 3 x ​ ⋅ 2 ⋅ 3 x 3 ⋅ 2 x ​ = 2 1 ​ ⋅ 1 ⋅ c o s 4 ( 0 ) 1 ​ ⋅ 2 3 ​ lim x → 0 ​ 3 x t a n 3 x ​ ⋅ lim x → 0 ​ s i n 2 x 2 x ​ = 2 1 ​ ⋅ 1 ⋅ 1 1 ​ ⋅ 2 3 ​ ⋅ 1 ⋅ 1 = 4 3 ​ ​ Dengan demikian, hasil x → 0 lim ​ x ( sin 6 x − sin 2 x ) sin x ⋅ tan 3 x ​ adalah 4 3 ​ . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.