Iklan

Pertanyaan

Garis y = m x + 5 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = 16 . Tentukan: a. nilai m , b. koordinat titik singgungnya

Garis  menyinggung lingkaran . Tentukan:

a. nilai ,

b. koordinat titik singgungnya

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

00

:

04

:

26

:

20

Iklan

Y. Herlanda

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni STKIP PGRI Jombang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

koordinat titik singgungnya adalah A ( − 7 18 ​ , 14 43 ​ ) , B ( − 2 , 2 7 ​ ) , C ( 7 18 ​ , 14 43 ​ ) dan D ( 2 , 2 7 ​ ) .

koordinat titik singgungnya adalah  dan .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai m = 4 3 ​ atau m = − 4 3 ​ serta titik koordinat singgungnya A ( − 7 18 ​ , 14 43 ​ ) , B ( − 2 , 2 7 ​ ) , C ( 7 18 ​ , 14 43 ​ ) dan D ( 2 , 2 7 ​ ) . Persamaan Garis Singgung Lingkaran Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik ( 0 , c ) dinyatakan dengan rumus y = m x + c . Jika garis tersebut menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 , maka nilai dapat diperoleh dengan mensubstitusikan y = m x + c ke dalam persamaan x 2 + y 2 = r 2 . a. Menentukan nilai m Substitusikan y = m x + 5 ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 16 , sehingga diperoleh: x 2 + y 2 x 2 + ( m x + 5 ) 2 x 2 + ( m x + 5 ) ( m x + 5 ) − 16 x 2 + m 2 x 2 + 5 m x + 5 m x + 25 − 16 x 2 + m 2 x 2 + 10 m x + 9 ( m 2 + 1 ) x 2 + 10 m x + 9 ​ = = = = = = ​ 16 16 0 0 0 0 ​ Syarat menyinggung: D = 0 Ingat bahwa D = b 2 − 4 a c , maka: a = m 2 + 1 b = 10 m c = 9 Substitusikan ke rumus: D 0 0 0 0 36 m 2 m 2 m ​ = = = = = = = = = = ​ b 2 − 4 a c ( 10 m ) 2 − 4 ( m 2 + 1 ) ( 9 ) 10 m 2 − ( 4 m 2 + 4 ) ( 9 ) 10 m 2 − ( 36 m 2 + 36 ) 10 m 2 − 36 m 2 − 36 64 m 2 64 ÷ 4 36 ÷ 4 ​ 16 9 ​ ± 16 9 ​ ​ ± 4 3 ​ ​ Dengan demikian, diperoleh nilai m = 4 3 ​ atau m = − 4 3 ​ . b. koordinat titik singgung Substitusi m = 4 3 ​ atau m = − 4 3 ​ ke persamaan garis y = m x + 5 . Sehingga diperoleh: Untuk m = 4 3 ​ , maka y ​ = ​ 4 3 ​ x + 5 ​ . Untuk m = − 4 3 ​ , maka y ​ = ​ − 4 3 ​ x + 5 ​ . Menentukan koordinat titik singgung Substitusi y ​ = ​ 4 3 ​ x + 5 ​ dan y ​ = ​ − 4 3 ​ x + 5 ​ ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 16 , sehingga diperoleh: Untuk y ​ = ​ 4 3 ​ x + 5 ​ , maka: x 2 + y 2 x 2 + ( 4 3 ​ x + 5 ) 2 x 2 + ( 4 3 ​ x + 5 ) ( 4 3 ​ x + 5 ) x 2 + 16 9 ​ x 2 + 4 15 ​ x + 4 15 ​ x + 25 − 16 x 2 + 4 3 ​ x 2 + 4 30 ​ x + 9 4 7 ​ x 2 + 4 30 ​ x + 9 7 x 2 + 30 x + 36 ( 7 x + 18 ) ( x + 2 ) 7 x + 18 7 x x x + 2 x ​ = = = = = = = = = = = = = ​ 16 16 16 0 0 0 0 0 0 − 18 − 7 18 ​ atau 0 − 2 ​ Jika x = − 7 18 ​ , diperoleh: y ​ = = = = = = ​ 4 3 ​ x + 5 4 3 ​ ( − 7 18 ​ ) + 5 − 28 54 ​ + 5 28 − 54 + 140 ​ 28 86 ​ 14 43 ​ ​ maka koordinat A ( − 7 18 ​ , 14 43 ​ ) . Jika x = − 2 diperoleh: y ​ = = = = = = ​ 4 3 ​ x + 5 4 3 ​ ( − 2 ) + 5 − 4 6 ​ + 5 − 2 3 ​ + 5 2 − 3 + 10 ​ 2 7 ​ ​ maka koordinat B ( − 2 , 2 7 ​ ) . Untuk y ​ = ​ − 4 3 ​ x + 5 ​ , maka: x 2 + y 2 x 2 + ( − 4 3 ​ x + 5 ) 2 x 2 + ( − 4 3 ​ x + 5 ) ( − 4 3 ​ x + 5 ) − 16 x 2 + 16 9 ​ x 2 − 4 15 ​ x − 4 15 ​ x + 25 − 16 x 2 + 4 3 ​ x 2 − 4 30 ​ x + 9 4 7 ​ x 2 − 4 30 ​ x + 9 7 x 2 − 30 x + 36 ( 7 x − 18 ) ( x − 2 ) 7 x − 18 7 x x x − 2 x ​ = = = = = = = = = = = = = ​ 16 16 0 0 0 0 0 0 0 18 7 18 ​ atau 0 2 ​ Jika x = 7 18 ​ , diperoleh: y ​ = = = = = = ​ − 4 3 ​ x + 5 − 4 3 ​ ( 7 18 ​ ) + 5 − 28 54 ​ + 5 28 − 54 + 140 ​ 28 86 ​ 14 43 ​ ​ maka koordinat C ( 7 18 ​ , 14 43 ​ ) . Jika x = 2 diperoleh: y ​ = = = = = = ​ − 4 3 ​ x + 5 − 4 3 ​ ( 2 ) + 5 − 4 6 ​ + 5 − 2 3 ​ + 5 2 − 3 + 10 ​ 2 7 ​ ​ maka koordinat D ( 2 , 2 7 ​ ) . Dengan demikian, koordinat titik singgungnya adalah A ( − 7 18 ​ , 14 43 ​ ) , B ( − 2 , 2 7 ​ ) , C ( 7 18 ​ , 14 43 ​ ) dan D ( 2 , 2 7 ​ ) .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai  atau  serta titik koordinat singgungnya  dan .

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Sebuah garis yang mempunyai gradien  dan melalui titik  dinyatakan dengan rumus . Jika garis tersebut menyinggung lingkaran , maka nilai c dapat diperoleh dengan mensubstitusikan  ke dalam persamaan .

a. Menentukan nilai 

Substitusikan  ke persamaan lingkaran , sehingga diperoleh:

 

Syarat menyinggung:  

Ingat bahwa , maka:

 

Substitusikan ke rumus:

 

Dengan demikian, diperoleh nilai  atau .

b. koordinat titik singgung

Substitusi   atau  ke persamaan garis . Sehingga diperoleh:

  1. Untuk , maka .
  2. Untuk , maka .

Menentukan koordinat titik singgung

Substitusi  dan  ke persamaan lingkaran , sehingga diperoleh:

Untuk , maka:

 

Jika , diperoleh: 

  

maka koordinat .

Jika  diperoleh:

 

maka koordinat .

Untuk , maka:

 

Jika , diperoleh:

  

maka koordinat .

Jika  diperoleh:

  

maka koordinat .

Dengan demikian, koordinat titik singgungnya adalah  dan .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1

Iklan

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!