Pertanyaan

Garis y = m x + 5 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = 16 . Tentukan: a. nilai m , b. koordinat titik singgungnya

Garis $y = m x + 5$ menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ . Tentukan:

a. nilai $m$ ,

b. koordinat titik singgungnya

Y. Herlanda

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni STKIP PGRI Jombang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

koordinat titik singgungnya adalah A ( − 7 18 , 14 43 ) , B ( − 2 , 2 7 ) , C ( 7 18 , 14 43 ) dan D ( 2 , 2 7 ) .

koordinat titik singgungnya adalah

A (- \frac{18}{7}, \frac{43}{14})

B (- 2, \frac{7}{2})

C (\frac{18}{7}, \frac{43}{14})

dan

D (2, \frac{7}{2})

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai m = 4 3 atau m = − 4 3 serta titik koordinat singgungnya A ( − 7 18 , 14 43 ) , B ( − 2 , 2 7 ) , C ( 7 18 , 14 43 ) dan D ( 2 , 2 7 ) . Persamaan Garis Singgung Lingkaran Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik ( 0 , c ) dinyatakan dengan rumus y = m x + c . Jika garis tersebut menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 , maka nilai dapat diperoleh dengan mensubstitusikan y = m x + c ke dalam persamaan x 2 + y 2 = r 2 . a. Menentukan nilai m Substitusikan y = m x + 5 ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 16 , sehingga diperoleh: x 2 + y 2 x 2 + ( m x + 5 ) 2 x 2 + ( m x + 5 ) ( m x + 5 ) − 16 x 2 + m 2 x 2 + 5 m x + 5 m x + 25 − 16 x 2 + m 2 x 2 + 10 m x + 9 ( m 2 + 1 ) x 2 + 10 m x + 9 = = = = = = 16 16 0 0 0 0 Syarat menyinggung: D = 0 Ingat bahwa D = b 2 − 4 a c , maka: a = m 2 + 1 b = 10 m c = 9 Substitusikan ke rumus: D 0 0 0 0 36 m 2 m 2 m = = = = = = = = = = b 2 − 4 a c ( 10 m ) 2 − 4 ( m 2 + 1 ) ( 9 ) 10 m 2 − ( 4 m 2 + 4 ) ( 9 ) 10 m 2 − ( 36 m 2 + 36 ) 10 m 2 − 36 m 2 − 36 64 m 2 64 ÷ 4 36 ÷ 4 16 9 ± 16 9 ± 4 3 Dengan demikian, diperoleh nilai m = 4 3 atau m = − 4 3 . b. koordinat titik singgung Substitusi m = 4 3 atau m = − 4 3 ke persamaan garis y = m x + 5 . Sehingga diperoleh: Untuk m = 4 3 , maka y = 4 3 x + 5 . Untuk m = − 4 3 , maka y = − 4 3 x + 5 . Menentukan koordinat titik singgung Substitusi y = 4 3 x + 5 dan y = − 4 3 x + 5 ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 16 , sehingga diperoleh: Untuk y = 4 3 x + 5 , maka: x 2 + y 2 x 2 + ( 4 3 x + 5 ) 2 x 2 + ( 4 3 x + 5 ) ( 4 3 x + 5 ) x 2 + 16 9 x 2 + 4 15 x + 4 15 x + 25 − 16 x 2 + 4 3 x 2 + 4 30 x + 9 4 7 x 2 + 4 30 x + 9 7 x 2 + 30 x + 36 ( 7 x + 18 ) ( x + 2 ) 7 x + 18 7 x x x + 2 x = = = = = = = = = = = = = 16 16 16 0 0 0 0 0 0 − 18 − 7 18 atau 0 − 2 Jika x = − 7 18 , diperoleh: y = = = = = = 4 3 x + 5 4 3 ( − 7 18 ) + 5 − 28 54 + 5 28 − 54 + 140 28 86 14 43 maka koordinat A ( − 7 18 , 14 43 ) . Jika x = − 2 diperoleh: y = = = = = = 4 3 x + 5 4 3 ( − 2 ) + 5 − 4 6 + 5 − 2 3 + 5 2 − 3 + 10 2 7 maka koordinat B ( − 2 , 2 7 ) . Untuk y = − 4 3 x + 5 , maka: x 2 + y 2 x 2 + ( − 4 3 x + 5 ) 2 x 2 + ( − 4 3 x + 5 ) ( − 4 3 x + 5 ) − 16 x 2 + 16 9 x 2 − 4 15 x − 4 15 x + 25 − 16 x 2 + 4 3 x 2 − 4 30 x + 9 4 7 x 2 − 4 30 x + 9 7 x 2 − 30 x + 36 ( 7 x − 18 ) ( x − 2 ) 7 x − 18 7 x x x − 2 x = = = = = = = = = = = = = 16 16 0 0 0 0 0 0 0 18 7 18 atau 0 2 Jika x = 7 18 , diperoleh: y = = = = = = − 4 3 x + 5 − 4 3 ( 7 18 ) + 5 − 28 54 + 5 28 − 54 + 140 28 86 14 43 maka koordinat C ( 7 18 , 14 43 ) . Jika x = 2 diperoleh: y = = = = = = − 4 3 x + 5 − 4 3 ( 2 ) + 5 − 4 6 + 5 − 2 3 + 5 2 − 3 + 10 2 7 maka koordinat D ( 2 , 2 7 ) . Dengan demikian, koordinat titik singgungnya adalah A ( − 7 18 , 14 43 ) , B ( − 2 , 2 7 ) , C ( 7 18 , 14 43 ) dan D ( 2 , 2 7 ) .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai $m = \frac{3}{4}$ atau $m = - \frac{3}{4}$ serta titik koordinat singgungnya $A (- \frac{18}{7}, \frac{43}{14})$ , $B (- 2, \frac{7}{2})$ , $C (\frac{18}{7}, \frac{43}{14})$ dan $D (2, \frac{7}{2})$ .

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Sebuah garis yang mempunyai gradien $m$ dan melalui titik $(0, c)$ dinyatakan dengan rumus $y = m x + c$ . Jika garis tersebut menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , maka nilai $c$ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan $y = m x + c$ ke dalam persamaan $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .

a. Menentukan nilai $m$

Substitusikan $y = m x + 5$ ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ , sehingga diperoleh:

$x^{2} + y^{2} x^{2} + (m x + 5)^{2} x^{2} + (m x + 5) (m x + 5) - 16 x^{2} + m^{2} x^{2} + 5 m x + 5 m x + 25 - 16 x^{2} + m^{2} x^{2} + 10 m x + 9 (m^{2} + 1) x^{2} + 10 m x + 9 = = = = = = 16160000$

Syarat menyinggung: $D = 0$

Ingat bahwa $D = b^{2} - 4 a c$ , maka:

$a = m^{2} + 1 b = 10 m c = 9$

Substitusikan ke rumus:

$D 000036 m^{2} m^{2} m = = = = = = = = = = b^{2} - 4 a c (10 m)^{2} - 4 (m^{2} + 1) (9) 10 m^{2} - (4 m^{2} + 4) (9) 10 m^{2} - (36 m^{2} + 36) 10 m^{2} - 36 m^{2} - 36 64 m^{2} \frac{36 \div 4}{64 \div 4} \frac{9}{16} \pm \frac{9}{16} \pm \frac{3}{4}$

Dengan demikian, diperoleh nilai $m = \frac{3}{4}$ atau $m = - \frac{3}{4}$ .

b. koordinat titik singgung

Substitusi $m = \frac{3}{4}$ atau $m = - \frac{3}{4}$ ke persamaan garis $y = m x + 5$ . Sehingga diperoleh:

Untuk $m = \frac{3}{4}$ , maka $y = \frac{3}{4} x + 5$ .
Untuk $m = - \frac{3}{4}$ , maka $y = - \frac{3}{4} x + 5$ .

Menentukan koordinat titik singgung

Substitusi $y = \frac{3}{4} x + 5$ dan $y = - \frac{3}{4} x + 5$ ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 16$ , sehingga diperoleh:

Untuk $y = \frac{3}{4} x + 5$ , maka:

$x^{2} + y^{2} x^{2} + (\frac{3}{4} x + 5)^{2} x^{2} + (\frac{3}{4} x + 5) (\frac{3}{4} x + 5) x^{2} + \frac{9}{16} x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} x + 25 - 16 x^{2} + \frac{3}{4} x^{2} + \frac{30}{4} x + 9 \frac{7}{4} x^{2} + \frac{30}{4} x + 9 7 x^{2} + 30 x + 36 (7 x + 18) (x + 2) 7 x + 18 7 x x x + 2 x = = = = = = = = = = = = = 161616000000 - 18 - \frac{18}{7} atau 0 - 2$

Jika $x = - \frac{18}{7}$ , diperoleh:

$y = = = = = = \frac{3}{4} x + 5 \frac{3}{4} (- \frac{18}{7}) + 5 - \frac{54}{28} + 5 \frac{- 54 + 140}{28} \frac{86}{28} \frac{43}{14}$

maka koordinat $A (- \frac{18}{7}, \frac{43}{14})$ .

Jika $x = - 2$ diperoleh:

$y = = = = = = \frac{3}{4} x + 5 \frac{3}{4} (- 2) + 5 - \frac{6}{4} + 5 - \frac{3}{2} + 5 \frac{- 3 + 10}{2} \frac{7}{2}$

maka koordinat $B (- 2, \frac{7}{2})$ .

Untuk $y = - \frac{3}{4} x + 5$ , maka:

$x^{2} + y^{2} x^{2} + (- \frac{3}{4} x + 5)^{2} x^{2} + (- \frac{3}{4} x + 5) (- \frac{3}{4} x + 5) - 16 x^{2} + \frac{9}{16} x^{2} - \frac{15}{4} x - \frac{15}{4} x + 25 - 16 x^{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{30}{4} x + 9 \frac{7}{4} x^{2} - \frac{30}{4} x + 9 7 x^{2} - 30 x + 36 (7 x - 18) (x - 2) 7 x - 18 7 x x x - 2 x = = = = = = = = = = = = = 1616000000018 \frac{18}{7} atau 02$

Jika $x = \frac{18}{7}$ , diperoleh:

$y = = = = = = - \frac{3}{4} x + 5 - \frac{3}{4} (\frac{18}{7}) + 5 - \frac{54}{28} + 5 \frac{- 54 + 140}{28} \frac{86}{28} \frac{43}{14}$

maka koordinat $C (\frac{18}{7}, \frac{43}{14})$ .

Jika $x = 2$ diperoleh:

$y = = = = = = - \frac{3}{4} x + 5 - \frac{3}{4} (2) + 5 - \frac{6}{4} + 5 - \frac{3}{2} + 5 \frac{- 3 + 10}{2} \frac{7}{2}$

maka koordinat $D (2, \frac{7}{2})$ .

Dengan demikian, koordinat titik singgungnya adalah $A (- \frac{18}{7}, \frac{43}{14})$ , $B (- 2, \frac{7}{2})$ , $C (\frac{18}{7}, \frac{43}{14})$ dan $D (2, \frac{7}{2})$ .