Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x,y∈R. b. −2≤x<3,0≤y≤4

Langkah-langkah mencari nilai optimum:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

2. Menentukan daerah penyelesaian.

3. Menentukan nilai optimum.

Diketahui fungsi objektif  dengan sistem pertidaksamaan ; ; ;  .

Penyelesaian:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

Titik potong sumbu koordinat:

$$\begin{gathered} 2x+3y=6\to (0,2)\&(3,0) \\ 2x+y=4\to (0,4)\&(2,0) \end{gathered}$$

Titik potong kedua garis:

$$\begin{array}{rcl}2x+y& =& 4\\ y& =& 4-2x\end{array}$$

substitusi

$$\begin{array}{rcl}2x+3y& =& 6\\ 2x+3(4-2x)& =& 6\\ 2x+12-6x& =& 6\\ -4x& =& -6\\ x& =& \frac{3}{2}\end{array}$$

substistusi

$$\begin{gathered} y=4-2x \\ y=4-2\cdot \frac{3}{2} \\ y=4-3 \\ y=1 \end{gathered}$$

Didapat titik $$\left(\frac{3}{2},1\right)$$.

Lalu gambar titik-titik yang dilalui sebagai berikut:

2. Menentukan daerah penyelesaian.

Untuk menentukan daerah penyelesaian perhatikan tabel berikut:

• Untuk $$2x+3y\le 6$$ koefisien x positif dan $$\le$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis.
• Untuk $$2x+y\le 4$$ koefisien x positif dan $$\le$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis.
• Untuk $$x\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis.
• Untuk $$y\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah atas garis.

Daerah arsirannya sebagai berikut:

3. Menentukan nilai optimum.

Dari gambar didapat titik-titik pojok (0, 0), (2, 0), $$\left(\frac{3}{2},1\right)$$ dan (0, 2), lalu substitusikan ke fungsi objektif $$f(x,y)=4x+5y$$

$$\begin{gathered} f(0,0)=4(0)+5(0)=0 \\ f(2,0)=4(2)+5(0)=8 \\ f\left(\frac{3}{2},1\right)=4\left(\frac{3}{2}\right)+5(1)=11 \\ f(0,2)=4(0)+5(2)=10 \end{gathered}$$

Jadi didapat nilai maksimum = 11.

Model matematika pada persoalan program linear pada umumnya membahas beberapa hal, yaitu:

1. Model matematika berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang merupakan bagian kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh variabel tersebut.

2. Model matematika yang berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak dioptimalkan.

Dari jawaban a diperoleh model matematika dari persoalan di atas sebagai berikut.

Fungsi objektif, yaitu 

Grafik dari sistem pertidaksamaan linear tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan demikian, daerah penyelesaian yang menyatakan hasil penjualan rumah adalah sebagai berikut.

Langkah-langkah mencari nilai optimum:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

2. Menentukan daerah penyelesaian.

3. Menentukan nilai optimum.

Diketahui fungsi objektif  dan sistem pertidaksamaan ; ; ; dan .

Penyelesaian:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

Titik potong sumbu koordinat:

$$\begin{gathered} 2x+y=6\to (0,6)\&(3,0) \\ x+2y=6\to (0,3)\&(6,0) \end{gathered}$$

Titik potong kedua garis:

$$\begin{array}{rcl}2x+y& =& 6\\ y& =& 6-2x\\ & & \end{array}$$

substitusi

$$\begin{array}{rcl}x+2y& =& 6\\ x+2(6-2x)& =& 6\\ x+12-4x& =& 6\\ -3x& =& -6\\ x& =& 2\end{array}$$

substistusi

$$\begin{gathered} y=6-2x \\ y=6-2\cdot 2 \\ y=6-4 \\ y=2 \end{gathered}$$

Didapat titik (2, 2).

Lalu gambar titik-titik yang dilalui sebagai berikut:

2. Menentukan daerah penyelesaian.

Untuk menentukan daerah penyelesaian perhatikan tabel berikut:

• Untuk $$2x+y\le 6$$ koefisien x positif dan $$\le$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis.
• Untuk $$x+2y\le 6$$ koefisien x positif dan $$\le$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis.
• Untuk $$x\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis.
• Untuk $$y\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah atas garis.

Daerah arsirannya sebagai berikut:

3. Menentukan nilai optimum.

Dari gambar didapat titik-titik pojok (0, 0), (3, 0), (2, 2) dan (0, 3), lalu substitusikan ke fungsi objektif $$f\left(x,y\right)=5x+3y$$

$$\begin{gathered} f(0,0)=5(0)+3(0)=0 \\ f(3,0)=5(3)+3(0)=15 \\ f(2,2)=5(2)+3(2)=16 \\ f(0,3)=5(0)+3(3)=9 \end{gathered}$$

Jadi didapat nilai maksimum = 16.

Langkah-langkah mencari nilai optimum:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

2. Menentukan daerah penyelesaian.

3. Menentukan nilai optimum.

Diketahui sistem pertidaksamaan ; ; ; dan  dan fungsi objektif  

Penyelesaian:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

Titik potong sumbu koordinat:

$$\begin{gathered} 2x+y=2\to (0,2)\&(1,0) \\ x+3y=3\to (0,1)\&(3,0) \end{gathered}$$

Titik potong kedua garis:

$$\begin{array}{rcl}2x+y& =& 2\\ y& =& 2-2x\end{array}$$

substitusi

$$\begin{array}{rcl}x+3y& =& 3\\ x+3(2-2x)& =& 3\\ x+6-6x& =& 3\\ -5x& =& -3\\ x& =& \frac{3}{5}\end{array}$$

substistusi

$$\begin{array}{rcl}y& =& 2-2x\\ y& =& 2-2\cdot \frac{3}{5}\\ y& =& \frac{10}{5}-\frac{6}{5}\\ y& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Didapat titik $$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$.

Lalu gambar titik-titik yang dilalui sebagai berikut:

2. Menentukan daerah penyelesaian.

Untuk menentukan daerah penyelesaian perhatikan tabel berikut:

• Untuk $$2x+y\le 2$$ koefisien x positif dan $$\le$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis.
• Untuk $$x+3y\ge 3$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis.
• Untuk $$x\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis.
• Untuk $$y\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah atas garis.

Daerah arsirannya sebagai berikut:

3. Menentukan nilai optimum.

Dari gambar didapat titik-titik pojok (0, 1), (0, 2) dan $$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$, lalu substitusikan ke fungsi objektif $$f(x,y)=3x+4y$$

$$\begin{array}{rcl}f(0,1)& =& 3(0)+4(1)=4\\ f(0,2)& =& 3(0)+4(2)=8\\ f\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)& =& 3\left(\frac{3}{5}\right)+4\left(\frac{4}{5}\right)\\ & =& \frac{9}{5}+\frac{16}{5}\\ & =& 5\end{array}$$

Jadi didapat nilai maksimum = 8.

Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan uji titik pojok adalah sebagai berikut.

1. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.

2. Tentukan semua titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut.

3. Substitusikan setiap titik pojok yang diperoleh ke dalam fungsi objektif yang diketahui.

4. Berdasarkan hasil substitusi tersebut, tetapkan nilai maksimum atau minimumnya.

Dari jawaban a dan b diperoleh model matematika dan daerah penyelesaian dari persoalan di atas sebagai berikut.

Fungsi objektif, yaitu 

Grafik dari sistem pertidaksamaan linear tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Daerah penyelesaian yang menyatakan hasil penjualan rumah adalah sebagai berikut.

Titik potong kedua garis tersebut, yaitu

Diperoleh titik potong 

Penentuan nilai maksimum dengan metode titik pojok sebagai berikut.

Dengan demikian, rumah yang harus dibangun agar mendapatkan hasil penjualan maksimum adalah  unit tipe  dan tidak membangun rumah tipe . Hasil penjualan maksimum yang diperoleh sebesar