Find the value of the limit.

Tentukan nilai limit dengan mensubstitusikan nilai $$x=3$$ ke dalam fungsi.

$$\begin{array}{rcl}{\lim }_{x\to 3}\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}& =& \frac{2-\sqrt{3+1}}{3-3}\\ & =& \frac{2-\sqrt{4}}{3-3}\\ & =& \frac{0}{0}\end{array}$$

Karena dengan cara substitusi menghasilkan nilai $$\frac{0}{0}$$, maka perlu kita gunakan cara lain yakni dengan mengalikan dengan akar sekawan.

 

Dengan demikian, nilai . 

Perhatikan perhitungan berikut:

 

Karena hasil limit tersebut ketika disubstitusikan  menghasil bilangan tak tentu , maka dilakukan rasionalisasi bentuk akar sekawan sebagai berikut:

 

Jadi, .

Diketahui . Untuk , diperoleh

Karena untuk , diperoleh nilai limit sebesar , maka untuk penyelesaian limit tersebut digunakan perkalian sekawan. Diperoleh

Dengan demikian, nilai dari  adalah .

Coba substitusikan nilai x ke dalam limitnya sehingga diperoleh

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{{\left(1\right)}^3-1}{1-1}=\frac{0}{0}$$

Karena bernilai $$\frac{0}{0}$$ maka harus dilakukan manipulasi pada limit tersebut dengan metode pemfaktoran. Maka

$$\begin{array}{rcl}{\lim }_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}& =& {\lim }_{x\to 1}\frac{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}\\ & =& {\lim }_{x\to 1}{x}^2+x+1\\ & =& {\left(1\right)}^2+\left(1\right)+1\\ & =& 3\end{array}$$

Dengan demikian, nilai dari $$\begin{array}{rcl}& & {\lim }_{x\to 1}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{x^3-1}{x-1}\end{array}=3$$.

Jika nilai  disubstitusikan ke dalam fungsi, maka akan menghasilkan nilai , maka  pembilang dan penyebut harus difaktorkan. Untuk itu, dilakukan bentuk  sebagai bentuk tak tentu suatu limit. , hal ini berarti pembilang sama dengan  karena penyebut bernilai nol, diperoleh:

Proses pemfaktoran:

Substitusikan  ke dalam persamaan .

Dengan demikan nilai  dan .