Empat bilangan asli memiliki median 8. Apakah rata-rata dari keempat bilangan tersebut lebih besar dari 6? Putuskan apakah pernyataan 1dan 2berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut. Jangkauannya sama dengan 5. Tiga di antara empat bilangan tersebut bernilai sama.

Pembahasan

Misalkan keempat bilangan tersebut setelah diurutkan adalah a , b , c , d . Karena mediannya adalah 8, maka didapat hasil perhitungan sebagai berikut. 2 b + c ​ b + c ​ = = ​ 8 16 ... ( 1 ) ​ Selanjutnya, akan ditentukan apakah rata-ratanya lebih besar dari 6. Pernyataan 1. Jangkauannya sama dengan 5. Jangkauan d − a ​ = = ​ 5 5 ... ( 2 ) ​ Dari persamaan (1) dan (2), maka haruslah c − b ≤ 5 ... ( 3 ) . Kemungkinan pasangan untuk b dan yang memenuhi persamaan (1) dan pertidaksamaan (3) adalah sebagai berikut. b = 8 ⇒ c = 8 , b = 7 ⇒ c = 9 , b = 6 ⇒ c = 10 , b = 5 ⇒ c = 11 , ​ c − b = 0 c − b = 2 c − b = 4 c − b = 6 ( TM ) ​ Selanjutnya, rata-rata dari keempat bilangan tersebut dapat dihitung sebagai berikut. x x ​ = = ​ 4 a + b + c + d ​ 4 a + 16 + d ​ ​ Perhatikan bahwa rata-ratanya akan minimum ketika dan d minimum. Karena tidak ada syarat bahwa nilai setiap bilangan berbeda, maka nilai d akan minimum ketika d = c = 8 . Jika d = 8 , maka didapat nilai a = d − 5 = 8 − 5 = 3 . Oleh karena itu, rata-rata minimumnya adalah sebagai berikut. x ​ = = = = ​ 4 a + 16 + d ​ 4 3 + 16 + 8 ​ 4 27 ​ 6 4 3 ​ ​ Didapat bahwa rata-rata dari keempat data tersebut adalah x ≥ 6 4 3 ​ .Artinya,rata-rata dari keempat bilangan tersebutlebih besar dari 6. Jadi, pernyataan 1 saja cukup untuk menjawab pertanyaan. Pernyataan 2.Tiga di antara empat bilangan tersebut bernilai sama. Perhatikan bahwa rata-ratanya akan minimum ketika b = c = d . Dari persamaan (1) didapat nilai b dan sebagai berikut. b + c b + b 2 b b ​ = = = = ​ 16 16 16 8 ​ Akibatnya, didapat pula bahwa c = d = 8 . Rata-rata keempat bilang tersebut adalah sebagai berikut. x ​ = = = ​ 4 a + b + c + d ​ 4 a + 8 + 8 + 8 ​ 4 a + 24 ​ ​ Perhatikan bahwa rata-ratanya akan minimum ketika minimum. Karena sudah ada tiga bilangan yang bernilai sama, yaitu 8, maka nilai minimum adalah a = 1 . Oleh karena itu, rata-rata minimumnya adalah sebagai berikut. x ​ = = = = ​ 4 a + 24 ​ 4 1 + 24 ​ 4 25 ​ 6 4 1 ​ ​ Didapat bahwa rata-rata dari keempat data tersebut adalah x ≥ 6 4 1 ​ .Artinya,rata-rata dari keempat bilangan tersebutlebih besar dari 6. Jadi, pernyataan 2 saja cukup untuk menjawab pertanyaan. Dengan demikian,pernyataan 1SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan 2SAJA cukup. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.