Pertanyaan

Diketahui titik A ( 5 , 3 , 1 ) , B ( 5 , − 3 , 5 ) dan C ( 2 , 5 , − 3 ) . Jika titik pada ABsehingga AP : PB = 5 : 3 , tentukan vektor PC dan nyatakan dalam vektor basis.

Diketahui titik $A (5, 3, 1)$ , $B (5, - 3, 5)$ dan $C (2, 5, - 3)$ . Jika titik $p$ pada AB sehingga $AP : PB = 5 : 3$ , tentukan vektor $PC$ dan nyatakan dalam vektor basis.

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

vektor PC adalah ( − 3 i − 8 46 j + 8 52 k ) .

vektor

PC

adalah

(- 3 i - \frac{46}{8} j + \frac{52}{8} k)

Pembahasan

Misalkan diberikan ruas garis AB . Jika titik P berada pada ruas garis tersebut sedemikian sehingga AP : PB = m : n , maka berlaku : p = m + n n a + m b Diketahui :titik pada ABsehingga AP : PB = 5 : 3 maka m = 3 , n = 3 akibatnya diperoleh : p = = = = = = = 5 + 3 3 ( 5 3 1 ) + 5 ( 5 − 3 5 ) 8 ( 3 × 5 3 × 3 3 × 1 ) + ( 5 × 5 5 × ( − 3 ) 5 × 5 ) 8 1 ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ 15 9 3 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 25 − 15 25 ⎠ ⎞ ⎠ ⎞ 8 1 ⎝ ⎛ 15 + 25 9 − 15 3 + 25 ⎠ ⎞ 8 1 ⎝ ⎛ 40 − 6 28 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 8 40 8 − 6 8 28 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 5 8 − 6 8 28 ⎠ ⎞ Jadi diperolehtitik P ( 5 , − 8 6 , 8 28 ) . Makavektor PC yaitu : PC = = = = = OC − OP ⎝ ⎛ 2 5 − 3 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 5 − 8 6 8 28 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 − 5 5 + 8 6 − 3 − 8 28 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 3 − 8 46 8 52 ⎠ ⎞ − 3 i − 8 46 j + 8 52 k Dengan demikian,vektor PC adalah ( − 3 i − 8 46 j + 8 52 k ) .

Misalkan diberikan ruas garis $\overline{AB}$ . Jika titik $P$ berada pada ruas garis tersebut sedemikian sehingga $\overline{AP} : \overline{PB} = m : n$ , maka berlaku :

$p = \frac{n a + m b}{m + n}$

Diketahui : titik $p$ pada AB sehingga $AP : PB = 5 : 3$ maka $m = 3, n = 3$ akibatnya diperoleh :

$p = = = = = = = \frac{3 ( 5 3 1 ) + 5 ( 5 - 3 5 )}{5 + 3} \frac{( 3 \times 5 3 \times 3 3 \times 1 ) + ( 5 \times 5 5 \times ( - 3 ) 5 \times 5 )}{8} \frac{1}{8} ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ 1593 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 25 - 15 25 ⎠ ⎞ ⎠ ⎞ \frac{1}{8} ⎝ ⎛ 15 + 25 9 - 15 3 + 25 ⎠ ⎞ \frac{1}{8} ⎝ ⎛ 40 - 6 28 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ \frac{40}{8} \frac{- 6}{8} \frac{28}{8} ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 5 \frac{- 6}{8} \frac{28}{8} ⎠ ⎞$

Jadi diperoleh titik $P (5, - \frac{6}{8}, \frac{28}{8})$ . Maka vektor $PC$ yaitu :

$PC = = = = = OC - OP ⎝ ⎛ 25 - 3 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 5 - \frac{6}{8} \frac{28}{8} ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 - 5 5 + \frac{6}{8} - 3 - \frac{28}{8} ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 3 - \frac{46}{8} \frac{52}{8} ⎠ ⎞ - 3 i - \frac{46}{8} j + \frac{52}{8} k$

Dengan demikian, vektor $PC$ adalah $(- 3 i - \frac{46}{8} j + \frac{52}{8} k)$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui titik A ( − 1 , 9 ) dan B ( 9 , − 11 ) . Jika M terletak di antara AB dengan perbandingan 3 : 7 , tentukan koordinat titik M .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( − 1 , 9 ) dan B ( 9 , − 11 ) . Jika M terletak di antara AB dengan perbandingan 3 : 7 , tentukan koordinat titik M .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A ( 2 , − 3 , 4 ) , B ( 5 , 0 , 1 ) dan C ( 4 , 2 , 5 ) . Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3 . Panjang vektor PC adalah ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 3 , 4 , − 12 ) , B ( 6 , 4 , 3 ) , dan C ( 2 , 1 , − 1 ) . Titik P membagi AB sehingga AP:PB=2:1 , maka vektor yang diwakili PC adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui tiga buah titik terletak di ruang, yaitu titik A dengan koordinat ( 3 , 3 , 3 ) , titik B dengan koordinat ( 4 , 5 , 1 ) , dan titik C dengan koordinat ( 7 , 11 , − 5 ) . Ruas-ruas garis ber...

4.5

Jawaban terverifikasi