Diketahui tiga buah titik terletak di ruang, yaitu titik A dengan koordinat ( 3 , 3 , 3 ) , titik B dengan koordinat ( 4 , 5 , 1 ) , dan titik C dengan koordinat ( 7 , 11 , − 5 ) . Ruas-ruas garis berarah O A , OB , dan OC berturut-turut mewakili vektor-vektor a , b , dan c . c. Tunjukkan bahwa titik A , titik B , dan titik C segaris atau kolinear. b. Tentukan nilai A B : BC .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahtitik A, titik B, dan titik Csegaris atau kolinear, serta nilai AB : BC = 1 : 3 . Misalkan diketahui vektor a = ⎝ ⎛ ​ x a ​ y a ​ z a ​ ​ ⎠ ⎞ ​ dan vektor b = ⎝ ⎛ ​ x b ​ y b ​ z b ​ ​ ⎠ ⎞ ​ . Keduanya relatif terhadap titik acuan 0 sehingga vektor posisi dari segmen garis berarah AB dinyatakan dengan rumus: AB = b − a = ⎝ ⎛ ​ x b ​ y b ​ z b ​ ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ x a ​ y a ​ z a ​ ​ ⎠ ⎞ ​ Vektor a dan b dikatakan kolinear jika dan hanya jika terdapat bilangan real k , dengan k  = 0 , sedemikian sehingga berlaku: a = k b c. Akan ditunjukkanbahwa titik A , titik B , dan titik C segaris atau kolinear. AB = b − a = ⎝ ⎛ ​ 4 5 1 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 3 3 3 ​ ⎠ ⎞ ​ = ⎝ ⎛ ​ 1 2 − 2 ​ ⎠ ⎞ ​ BC = c − b = ⎝ ⎛ ​ 7 11 − 5 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 4 5 1 ​ ⎠ ⎞ ​ = ⎝ ⎛ ​ 3 6 − 6 ​ ⎠ ⎞ ​ AC = c − a = ⎝ ⎛ ​ 7 11 − 5 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 3 3 3 ​ ⎠ ⎞ ​ = ⎝ ⎛ ​ 4 8 − 8 ​ ⎠ ⎞ ​ Diperoleh hubungan: BC = ⎝ ⎛ ​ 3 6 − 6 ​ ⎠ ⎞ ​ = 3 ⎝ ⎛ ​ 1 2 − 2 ​ ⎠ ⎞ ​ = 3 AB dan AC = ⎝ ⎛ ​ 4 8 − 8 ​ ⎠ ⎞ ​ = 4 ⎝ ⎛ ​ 1 2 − 2 ​ ⎠ ⎞ ​ = 4 AB Oleh karena AC = 4 AB dan BC = 3 AB sehingga dapat disimpulkan bahwatitik A , titik B , dan titik C segaris atau kolinear. d. Berdasarkan hasil perhitungan pada c, diperoleh hubungan BC = 3 AB . Ini berarti BC = 3 AB atau AB : BC = 1 : 3 . Jadi, nilai AB : BC = 1 : 3 . Dengan demikian,titik A , titik B , dan titik C segaris atau kolinear, serta nilai AB : BC = 1 : 3 .