Diketahui titik A ( − 3 , 4 ) dan B ( 2 , − 1 ) . Buktikan bahwa persamaan tempat kedudukan P ( x , y ) yang ditentukan oleh { P ( x , y ) ∣2 AP = 3 PB } adalah lingkaran. kemudian tentukan pusat dan jari - jarinya.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah Terbukti lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 12 x + 10 y − 11 ​ = ​ 0 ​ dan titik pusat ( 6 , − 5 ) serta jari - jari 5 2 ​ . Ingat! Jika diketahui A ( x 1 ​ , y 1 ​ ) dan B ( x 2 ​ , y 2 ​ ) maka AB = ( x 2 ​ − x 1 ​ ) 2 + ( y 2 ​ − y 1 ​ ) 2 ​ . Dan pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 memiliki titik pusat ( a , b ) = ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) dengan jari - jari r = a 2 + b 2 − C ​ . Diperoleh perhitungan sebagai berikut. Diketahui A ( − 3 , 4 ) , B ( 2 , − 1 ) , dan P ( x , y ) maka { P ( x , y ) ∣2 AP = 3 PB } didapat 2 AP 2 ( ( x − ( − 3 ) ) 2 + ( y − 4 ) 2 ​ ) 2 ( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 ​ ( 2 ( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 ​ ) 2 4 ( ( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 ) 4 ( x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 8 y + 16 ) 4 ( x 2 + y 2 + 6 x − 8 y + 25 ) 4 x 2 + 4 y 2 + 24 x − 32 y + 100 0 0 5 x 2 + 5 y 2 − 60 x + 50 y − 55 x 2 + y 2 − 12 x + 10 y − 11 ​ = = = = = = = = = = = = ​ 3 PB 3 ( ( 2 − x ) 2 + ( − 1 − y ) 2 ​ ) 3 ( 2 − x ) 2 + ( − 1 − y ) 2 ​ ( 3 ( 2 − x ) 2 + ( − 1 − y ) 2 ​ ) 2 9 ( ( 2 − x ) 2 + ( − 1 − y ) 2 ) 9 ( 4 − 4 x + x 2 + 1 + 2 y + y 2 ) 9 ( x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 5 ) 9 x 2 + 9 y 2 − 36 x + 18 y + 45 9 x 2 + 9 y 2 − 36 x + 18 y + 45 − 4 x 2 − 4 y 2 − 24 x + 32 y − 100 5 x 2 + 5 y 2 − 60 x + 50 y − 55 0 0 ​ Dengan demikian, terbukti bahwa { P ( x , y ) ∣2 AP = 3 PB } merupakan lingkaran. x 2 + y 2 − 12 x + 10 y − 11 ​ = ​ 0 ​ memiliki titik pusat ( a , b ) = ( − 2 ( − 12 ) ​ , − 2 10 ​ ) = ( 6 , − 5 ) . Dan jari - jari r ​ = = = = = ​ a 2 + b 2 − C ​ ( 6 ) 2 + ( − 5 ) 2 − ( − 11 ) ​ 36 + 25 − 11 ​ 50 ​ 5 2 ​ ​ Dengan demikian, didapat titik pusatnya ( 6 , − 5 ) dan jari - jari 5 2 ​ .