Pertanyaan

Lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 a x − 8 y + a 2 − 9 = 0 melalui titik ( − 2 , 4 ) . Tentukan a. nilai . b.persamaan-persamaan yang mungkin. c. pusat dan jari-jarinya.

Lingkaran dengan persamaan $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 8 y + a^{2} - 9 = 0$ melalui titik $(- 2, 4)$ . Tentukan

a. nilai $a$ .

b. persamaan-persamaan yang mungkin.

c. pusat dan jari-jarinya. $\;\;$

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

titik pusat lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 adalah ( 3 , 4 ) dan jari-jarinya 5 .

titik pusat lingkaran

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0

adalah

(3, 4)

dan jari-jarinya

5

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat bentuk umum persamaan lingkaran adalah sebagai berikut: x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 a. Nilai . Dari soal di atas diketahui x 2 + y 2 − 2 a x − 8 y + a 2 − 9 = 0 melalui titik ( − 2 , 4 ) sehingga titik ( − 2 , 4 ) memenuhi persamaan lingkaran tersebut. x 2 + y 2 − 2 a x − 8 y + a 2 − 9 ( − 2 ) 2 + ( 4 2 ) − 2 a ( − 2 ) − 8 ( 4 ) + a 2 − 9 4 + 16 + 4 a − 32 + a 2 − 9 a 2 + 4 a − 21 ( a + 7 ) ( a − 3 ) = = = = = 0 0 0 0 0 Diperoleh nilai a = − 7 atau a = 3 Dengan demikian, nilai adalah − 7 atau 3. b. Persamaan-persamaan yang mungkin Subtitusikan nilai a = − 7 atau a = 3 ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan lingkarannya yaitu: ♦ Untuk a = − 7 x 2 + y 2 − 2 a x − 8 y + a 2 − 9 x 2 + y 2 − 2 ( − 7 ) x − 8 y + ( − 7 ) 2 − 9 x 2 + y 2 + 14 x − 8 y + 49 − 9 x 2 + y 2 + 14 x − 8 y + 40 = = = = 0 0 0 0 ♦ Untuk a = 3 x 2 + y 2 − 2 a x − 8 y + a 2 − 9 x 2 + y 2 − 2 ( 3 ) x − 8 y + ( 3 ) 2 − 9 x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 9 − 9 x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = = = = 0 0 0 0 Dengan demikian, persamaan-persamaan lingkaran yang mungkin adalah x 2 + y 2 + 14 x − 8 y + 40 = 0 dan x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 . c. Pusat dan Jari-jarinya Ingat: Titik pusat lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: ( − 2 1 ⋅ A , − 2 1 ⋅ B ) Jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa persamaan-persamaan lingkaran yang mungkin adalah x 2 + y 2 + 14 x − 8 y + 40 = 0 dan x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh: ►Titik pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 14 x − 8 y + 40 = 0 A = 14 , B = − 8 , C = 40 Titik pusat ( − 2 1 ⋅ A , − 2 1 ⋅ B ) = ( − 2 1 ⋅ 14 , − 2 1 ⋅ − 8 ) = ( − 7 , 4 ) Jari-jari r = = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( 14 ) 2 + 4 1 ( − 8 ) 2 − C 4 1 ( 196 ) + 4 1 ( 64 ) − 40 49 + 16 − 40 25 5 Dengan demikian, titik pusat lingkaran x 2 + y 2 + 14 x − 8 y + 40 = 0 adalah ( − 7 , 4 ) dan jari-jarinya 5 ►Titik pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 A = − 6 , B = − 8 , C = 0 Titik pusat ( − 2 1 ⋅ A , − 2 1 ⋅ B ) = ( − 2 1 ⋅ − 6 , − 2 1 ⋅ − 8 ) = ( 3 , 4 ) Jari-jari r = = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( − 6 ) 2 + 4 1 ( − 8 ) 2 − C 4 1 ( 36 ) + 4 1 ( 64 ) 9 + 16 25 5 . Dengan demikian, titik pusat lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 adalah ( 3 , 4 ) dan jari-jarinya 5 .

Ingat bentuk umum persamaan lingkaran adalah sebagai berikut:

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

a. Nilai $a$ .

Dari soal di atas diketahui $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 8 y + a^{2} - 9 = 0$ melalui titik $(- 2, 4)$ sehingga titik $(- 2, 4)$ memenuhi persamaan lingkaran tersebut.

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 8 y + a^{2} - 9 (- 2)^{2} + (4^{2}) - 2 a (- 2) - 8 (4) + a^{2} - 9 4 + 16 + 4 a - 32 + a^{2} - 9 a^{2} + 4 a - 21 (a + 7) (a - 3) = = = = = 00000$

Diperoleh nilai $a = - 7 atau a = 3$

Dengan demikian, nilai $a$ adalah $- 7$ atau 3. $\;\;$

b. Persamaan-persamaan yang mungkin

Subtitusikan nilai $a = - 7 atau a = 3$ ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan lingkarannya yaitu:

♦ Untuk $a = - 7$

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 8 y + a^{2} - 9 x^{2} + y^{2} - 2 (- 7) x - 8 y + (- 7)^{2} - 9 x^{2} + y^{2} + 14 x - 8 y + 49 - 9 x^{2} + y^{2} + 14 x - 8 y + 40 = = = = 0000$

♦ Untuk $a = 3$

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 8 y + a^{2} - 9 x^{2} + y^{2} - 2 (3) x - 8 y + (3)^{2} - 9 x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 9 - 9 x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = = = = 0000$

Dengan demikian, persamaan-persamaan lingkaran yang mungkin adalah $x^{2} + y^{2} + 14 x - 8 y + 40 = 0$ dan $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ . $\;\;$

c. Pusat dan Jari-jarinya

Ingat:

Titik pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

$(- \frac{1}{2} \cdot A, - \frac{1}{2} \cdot B)$

Jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

$r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa persamaan-persamaan lingkaran yang mungkin adalah $x^{2} + y^{2} + 14 x - 8 y + 40 = 0$ dan $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh:

►Titik pusat dan jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + 14 x - 8 y + 40 = 0$

$A = 14, B = - 8, C = 40$

Titik pusat

$(- \frac{1}{2} \cdot A, - \frac{1}{2} \cdot B) = (- \frac{1}{2} \cdot 14, - \frac{1}{2} \cdot - 8) = (- 7, 4)$

Jari-jari

$r = = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (14)^{2} + \frac{1}{4} (- 8)^{2} - C \frac{1}{4} (196) + \frac{1}{4} (64) - 40 49 + 16 - 40 255$

Dengan demikian, titik pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} + 14 x - 8 y + 40 = 0$ adalah $(- 7, 4)$ dan jari-jarinya $5$

►Titik pusat dan jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$

$A = - 6, B = - 8, C = 0$

Titik pusat

$(- \frac{1}{2} \cdot A, - \frac{1}{2} \cdot B) = (- \frac{1}{2} \cdot - 6, - \frac{1}{2} \cdot - 8) = (3, 4)$

Jari-jari

$r = = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (- 6)^{2} + \frac{1}{4} (- 8)^{2} - C \frac{1}{4} (36) + \frac{1}{4} (64) 9 + 16 255$ . $\;\;$

Dengan demikian, titik pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ adalah $(3, 4)$ dan jari-jarinya $5$ . $\;\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.0 (2 rating)

Anggun lestari

Jawaban tidak sesuai

Pertanyaan serupa

Lingkaran L : x 2 + y 2 + 6 x + p y − 7 = 0 melalui titik ( 1 , 6 ) . Tentukan pusat danjari-jari lingkaran tersebut.

3.7

Jawaban terverifikasi

Lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 6 x + p y + 2 p − 15 = 0 . Jika persamaannya melalui titik A ( − 1 , − 4 ) , jari-jari lingkaran L sama dengan ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 6 x + p y + 2 p − 15 = 0 . Jika persamaannya melalui titik A ( − 1 , − 4 ) , jari-jari lingkaran L sama dengan ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Lingkaran L : x 2 + y 2 + 6 x + p y − 7 = 0 melalui titik ( 1 , 6 ) . Tentukan pusat danjari-jari lingkaran tersebut.

3.7

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( − 3 , 4 ) dan B ( 2 , − 1 ) . Buktikan bahwa persamaan tempat kedudukan P ( x , y ) yang ditentukan oleh { P ( x , y ) ∣2 AP = 3 PB } adalah lingkaran. kemudian tentukan pusat dan ...

4.0

Jawaban terverifikasi