Pertanyaan

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 6 , 4 ) , B ( − 2 , 0 , 4 ) , dan C ( 0 , 2 , 8 ) .Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut. c. sudut ACB

Diketahui segitiga $ABC$ dengan titik-titik sudut $A (4, - 6, 4), B (- 2, 0, 4)$ , dan $C (0, 2, 8)$ . Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut.

c. sudut $ACB$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

besarsudut ACB adalah 6 0 ∘ .

besar sudut

ACB

adalah

6 0^{\circ}

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah . Ingat ! Jika diketahui titik A ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan titik B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Maka : AB = OB − OA = ( x 2 − x 1 ) , ( y 2 − y 1 ) , ( z 2 − z 1 ) a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ∣ ∣ a ∣ ∣ = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 cos θ = ∣ a ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ a ⋅ b Sudut ACB merupakan sudut yang terbentuk antara vektor CA dan vektor CB . cos ∠ ACB = ∣ ∣ CA ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ CB ∣ ∣ CA ⋅ CB Vektor CA CA = = = OA − OC ⎝ ⎛ 4 − 6 4 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 0 2 8 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 4 − 8 − 4 ⎠ ⎞ Vektor CB CB = = = OB − OC ⎝ ⎛ − 2 0 4 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 0 2 8 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 − 2 − 4 ⎠ ⎞ Menentukan nilai CA ⋅ CB CA ⋅ CB = = = ⎝ ⎛ 4 − 8 − 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 − 2 − 4 ⎠ ⎞ − 8 + 16 + 16 24 Menentukan panjang CA ∣ ∣ CA ∣ ∣ = = = = = 4 2 + ( − 8 ) 2 + ( − 4 ) 2 16 + 64 + 16 96 16 ⋅ 6 4 6 Menentukan panjang CB ∣ ∣ CB ∣ ∣ = = = = = ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) 2 + ( − 4 ) 2 4 + 4 + 16 24 4 ⋅ 6 2 6 Menentukan besar sudut ACB . cos ∠ ACB θ θ = = = = = = = ∣ ∣ CA ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ CB ∣ ∣ CA ⋅ CB 4 6 ⋅ 2 6 24 8 ⋅ 6 24 48 24 2 1 arc cos 2 1 6 0 ∘ Dengan demikian, besarsudut ACB adalah 6 0 ∘ .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $\mathbf{60}\boldsymbol\textdegree$ .

Ingat !

Jika diketahui titik $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan titik $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . Maka :

$AB = OB - OA = (x_{2} - x_{1}), (y_{2} - y_{1}), (z_{2} - z_{1})$
$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$
$∣ ∣ a ∣ ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}$
$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣}$

Sudut $ACB$ merupakan sudut yang terbentuk antara vektor $CA$ dan vektor $CB$ .

$cos ∠ ACB = \frac{CA \cdot CB}{∣ ∣ CA ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ CB ∣ ∣}$

Vektor $CA$

$CA = = = OA - OC ⎝ ⎛ 4 - 6 4 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 028 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 4 - 8 - 4 ⎠ ⎞$

Vektor $CB$

$CB = = = OB - OC ⎝ ⎛ - 2 04 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 028 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 - 2 - 4 ⎠ ⎞$

Menentukan nilai $CA \cdot CB$

$CA \cdot CB = = = ⎝ ⎛ 4 - 8 - 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 - 2 - 4 ⎠ ⎞ - 8 + 16 + 16 24$

Menentukan panjang $CA$

$∣ ∣ CA ∣ ∣ = = = = = 4^{2} + (- 8)^{2} + (- 4)^{2} 16 + 64 + 16 96 16 \cdot 6 46$

Menentukan panjang $CB$

$∣ ∣ CB ∣ ∣ = = = = = (- 2)^{2} + (- 2)^{2} + (- 4)^{2} 4 + 4 + 16 24 4 \cdot 6 26$

Menentukan besar sudut $ACB$ .

$cos ∠ ACB θ θ = = = = = = = \frac{CA \cdot CB}{∣ ∣ CA ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ CB ∣ ∣} \frac{24}{4 6 \cdot 2 6} \frac{24}{8 \cdot 6} \frac{24}{48} \frac{1}{2} arc cos \frac{1}{2} 6 0^{\circ}$

Dengan demikian, besar sudut $ACB$ adalah $6 0^{\circ}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = 4 i − 2 j + 2 k dan vektor b = i + j + 2 k . Sudut antara vektor a dan b adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi

Misalkan titik O ( 0 , 0 , 0 ) bertindak sebagai titik pangkal. Tentukan besar sudut POQ untuk tiap pasang titik P dan titik Q berikut. b. P ( 1 , − 1 , 2 ) dan Q ( 1 , 0 , 1 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui balok ABCD . EFGH dengan AB = 2 cm , BC = 3 cm , dan AE = 4 cm . Jika AC adalah wakil untuk vektor u dan DH adalah wakil vektor v , maka sudut antara vektor u dan v adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan titik O ( 0 , 0 , 0 ) bertindak sebagai titik pangkal. Tentukan besar sudut POQ untuk tiap pasang titik P dan titik Q berikut. a. P ( 3 , − 3 , 0 ) dan Q ( 3 , 0 , 3 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan titik A ( 3 , 0 , 0 ) , C ( 0 , 7 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 0 ) , F ( 3 , 7 , 4 ) , dan H ( 0 , 0 , 4 ) . Sudut antara vektor DH dan DF adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi