Pertanyaan

Diketahui segitiga ABC dengan A ( 2 , 1 ) , B ( 6 , 4 ) , dan C ( 2 , 7 ) , tentukan: a. jari jari lingkaran dalam segitiga ABC , b. pusat lingkaran dalamnya, c. persamaan lingkaran dalam segitiga ABC

Diketahui segitiga $ABC$ dengan $A (2, 1)$ , $B (6, 4)$ , dan $C (2, 7)$ , tentukan:

a. jari jari lingkaran dalam segitiga $ABC$ ,

b. pusat lingkaran dalamnya,

c. persamaan lingkaran dalam segitiga $ABC$

N. Indriani

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran dalam segitiga adalah x 2 + y 2 − 4 23 x − 8 y + 2 29 = 0

persamaan lingkaran dalam segitiga adalah

x^{2} + y^{2} - \frac{23}{4} x - 8 y + \frac{29}{2} = 0

Pembahasan

Ingat, bentuk umum persamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dengan pusat ( − 2 A , − 2 B ) dan jari-jari ( − 2 A ) 2 + ( − 2 B ) 2 − C Melalui titik A ( 2 , 1 ) , kita substitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh 2 2 + 1 2 + A ( 2 ) + B ( 1 ) + C 4 + 1 + 2 A + B + C 2 A + B + C = = = 0 0 − 5 .... ( 1 ) Melalui titik B ( 6 , 4 ) , kita substitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh 6 2 + 4 2 + A ( 6 ) + B ( 4 ) + C 36 + 16 + 6 A + 4 B + C 6 A + 4 B + C = = = 0 0 − 52 .... ( 2 ) Melalui titik C ( 2 , 7 ) , kita substitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh 2 2 + 7 2 + A ( 2 ) + B ( 7 ) + C 4 + 49 + 2 A + 7 B + C 2 A + 7 B + C = = = 0 0 − 53 .... ( 3 ) Eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh 2 A 6 A − 4 A + + − B 4 B 3 B + + C C = = = − 5 − 52 47 − .... ( 4 ) Eliminasi persamaan 2dan 3diperoleh 6 A 2 A 4 A + + − 4 B 7 B 3 B + + C C = = = − 52 − 53 1 − .... ( 5 ) Eliminasi persamaan 4dan 5 diperoleh − 4 A 4 A − 8 A A A − − 3 B 3 B = = = = = 47 1 46 − 8 46 − 4 23 − Substitusi A = − 4 23 ke persamaan 5 4 A − 3 B 4 ( − 4 23 ) − 3 B − 23 − 3 B − 3 B B B = = = = = = 1 1 1 24 − 3 24 − 8 Substitusi A = − 4 23 dan B = − 8 ke persamaan 1 2 A + B + C 2 ( − 4 23 ) + ( − 8 ) + C − 2 23 + ( − 8 ) + C − 2 23 + − 2 16 + C C C C = = = = = = = − 5 − 5 − 5 − 5 − 5 + 2 39 − 2 10 + 2 39 2 29 a. jari jari lingkaran dalam segitiga ABC , r = ( − 2 A ) 2 + ( − 2 B ) 2 − C r = ⎝ ⎛ − 2 4 − 23 ⎠ ⎞ 2 + ( − 2 − 8 ) 2 − 2 29 r = ( 8 23 ) 2 + ( 4 ) 2 − 2 29 r = 64 529 + 16 − 2 29 r = 64 529 + 64 1024 − 64 928 r = 64 625 r = 8 25 Dengan demikian, jari jari lingkaran dalam segitiga ABC adalah 8 25 b. pusat lingkaran dalamnya Pusat: ( − 2 A , − 2 B ) = = ⎝ ⎛ − 2 4 − 23 , − 2 − 8 ⎠ ⎞ ( 8 23 , 4 ) Dengan demikian,pusat lingkaran dalamnya adalah ( 8 23 , 4 ) c. persamaan lingkaran dalam segitiga ABC Substitusi A = − 4 23 , B = − 8 , C = 2 29 ke persamaan x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 diperoleh x 2 + y 2 − 4 23 x − 8 y + 2 29 = 0 Dengan demikian,persamaan lingkaran dalam segitiga adalah x 2 + y 2 − 4 23 x − 8 y + 2 29 = 0

Ingat, bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dengan pusat $(\frac{A}{- 2}, \frac{B}{- 2})$ dan jari-jari $(\frac{A}{- 2})^{2} + (\frac{B}{- 2})^{2} - C$

Melalui titik $A (2, 1)$ , kita substitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh

$2^{2} + 1^{2} + A (2) + B (1) + C 4 + 1 + 2 A + B + C 2 A + B + C = = = 00 - 5 .... (1)$

Melalui titik $B (6, 4)$ , kita substitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh

$6^{2} + 4^{2} + A (6) + B (4) + C 36 + 16 + 6 A + 4 B + C 6 A + 4 B + C = = = 00 - 52 .... (2)$

Melalui titik $C (2, 7)$ , kita substitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh

$2^{2} + 7^{2} + A (2) + B (7) + C 4 + 49 + 2 A + 7 B + C 2 A + 7 B + C = = = 00 - 53 .... (3)$

Eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh

$2 A 6 A - 4 A + + - B 4 B 3 B + + C C = = = - 5 - 52 47 - .... (4)$

Eliminasi persamaan 2 dan 3 diperoleh

$6 A 2 A 4 A + + - 4 B 7 B 3 B + + C C = = = - 52 - 53 1 - .... (5)$

Eliminasi persamaan 4 dan 5 diperoleh

$- 4 A 4 A - 8 A A A - - 3 B 3 B = = = = = 47146 - \frac{46}{8} - \frac{23}{4} -$

Substitusi $A = - \frac{23}{4}$ ke persamaan 5

$4 A - 3 B 4 (- \frac{23}{4}) - 3 B - 23 - 3 B - 3 B B B = = = = = = 11124 \frac{24}{- 3} - 8$

Substitusi $A = - \frac{23}{4}$ dan $B = - 8$ ke persamaan 1

$2 A + B + C 2 (- \frac{23}{4}) + (- 8) + C - \frac{23}{2} + (- 8) + C - \frac{23}{2} + - \frac{16}{2} + C C C C = = = = = = = - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 + \frac{39}{2} - \frac{10}{2} + \frac{39}{2} \frac{29}{2}$

a. jari jari lingkaran dalam segitiga $ABC$ ,

$r = (\frac{A}{- 2})^{2} + (\frac{B}{- 2})^{2} - C r = ⎝ ⎛ \frac{\frac{- 23}{4}}{- 2} ⎠ ⎞^{2} + (\frac{- 8}{- 2})^{2} - \frac{29}{2} r = (\frac{23}{8})^{2} + (4)^{2} - \frac{29}{2} r = \frac{529}{64} + 16 - \frac{29}{2} r = \frac{529}{64} + \frac{1024}{64} - \frac{928}{64} r = \frac{625}{64} r = \frac{25}{8}$

Dengan demikian, jari jari lingkaran dalam segitiga $ABC$ adalah $\frac{25}{8}$

b. pusat lingkaran dalamnya

Pusat: $(\frac{A}{- 2}, \frac{B}{- 2}) = = ⎝ ⎛ \frac{\frac{- 23}{4}}{- 2}, \frac{- 8}{- 2} ⎠ ⎞ (\frac{23}{8}, 4)$

Dengan demikian, pusat lingkaran dalamnya adalah $(\frac{23}{8}, 4)$

c. persamaan lingkaran dalam segitiga $ABC$

Substitusi $A = - \frac{23}{4}$ , $B = - 8$ , $C = \frac{29}{2}$ ke persamaan $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ diperoleh

$x^{2} + y^{2} - \frac{23}{4} x - 8 y + \frac{29}{2} = 0$

Dengan demikian, persamaan lingkaran dalam segitiga adalah $x^{2} + y^{2} - \frac{23}{4} x - 8 y + \frac{29}{2} = 0$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Gambar berikut adalah △ A BC dengan siku-siku di A dan lingkaran dalam segitiga yang berpusat di M. Bila AB = 8 cm dan AC = 6 cm, luas lingkaran yang berpusat di M adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Gambar berikut adalah △ A BC dengan siku-siku di A dan lingkaran dalam segitiga yang berpusat di M. Bila AB = 8 cm dan AC = 6 cm, luas lingkaran yang berpusat di M adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran luar segitiga yang memiliki titik-titik sudut ( 3 , − 1 ) , ( 1 , 1 ) , dan ( − 1 , − 2 ) .

0.0

Jawaban terverifikasi

Hitunglah berapa nilai-nilai A , B , dan C . Jika lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 melalui ( 3 , 5 ) , ( − 2 , 4 ) , dan ( − 6 , − 2 ) .

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik berikut! a. A ( 3 , − 2 ) ,B ( 1 , − 4 ) , dan C ( 4 , 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi