Roboguru

Pertanyaan

Diketahui persamaan lingkaran  begin mathsize 14px style L subscript 1 end style dan begin mathsize 14px style L subscript 2 end style berturut-turut begin mathsize 14px style x squared plus y squared equals 8 end style dan begin mathsize 14px style open parentheses x minus a close parentheses squared plus y squared equals r squared end style. Lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style dan begin mathsize 14px style L subscript 2 end style bersinggungan di titik begin mathsize 14px style open parentheses 2 square root of 2 comma 0 close parentheses end style. Jika garis f menyinggung lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style di titik (2, 2) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 2 end style di titik (p, q). Nilai p + q adalah ....

  1. 0

  2. -6begin mathsize 14px style square root of 2 end style

  3. -4

  4. 6begin mathsize 14px style square root of 2 end style

  5. 4

R. RGFLSATU

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style begin mathsize 14px style x squared plus y squared equals 8 end style memiliki titik pusat di (0, 0) dan jari-jari 2begin mathsize 14px style square root of 2 end style dan lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 2 end stylebegin mathsize 14px style open parentheses x minus a close parentheses squared plus y squared equals r squared end stylememiliki titik pusat di (a, 0) dan jari-jari r.
Perhatikan gambar berikut sebagai ilustrasi dari soal di atas dan kita misalkan beberapa titik yakni A,B,C,dan D.

Pertama, kita cari persamaan garis singgung tersebut. Diketahui garis f menyinggung lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style begin mathsize 14px style x squared plus y squared equals 8 end style di titik (2, 2), maka persamaan garis f adalah 2x + 2y = 8 → x + y = 4.

Kemudian, kita cari koordinat titik C yakni titik potong garis f dengan sumbu x. Diketahui bahwa nilai y = 0 pada sumbu x sehingga kita peroleh

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 4 row cell x plus open parentheses 0 close parentheses end cell equals 4 row x equals 4 end table end style

Jadi, koordinat titik C adalah (4, 0).
Selanjutnya, perhatikan segitiga OAC berdasarkan gambar di atas.

Dengan prinsip kesebangunan, kita dapatkan

 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator size 14px B size 14px D over denominator size 14px A size 14px O end fraction end cell size 14px equals cell fraction numerator size 14px C size 14px D over denominator size 14px C size 14px O end fraction end cell row cell fraction numerator size 14px r over denominator size 14px 2 square root of size 14px 2 end fraction end cell size 14px equals cell fraction numerator size 14px 4 size 14px minus begin mathsize 14px style left parenthesis 2 square root of 2 plus r right parenthesis end style over denominator size 14px 4 end fraction end cell row cell fraction numerator size 14px 2 size 14px r over denominator square root of size 14px 2 end fraction end cell size 14px equals cell size 14px 4 size 14px minus size 14px 2 square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px r end cell row cell square root of size 14px 2 size 14px r end cell size 14px equals cell size 14px 4 size 14px minus size 14px 2 square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px r end cell row cell square root of size 14px 2 size 14px r size 14px plus size 14px r end cell size 14px equals cell size 14px 4 size 14px minus size 14px 2 square root of size 14px 2 end cell row cell size 14px r begin mathsize 14px style left parenthesis square root of 2 plus 1 right parenthesis end style end cell size 14px equals cell size 14px 4 size 14px minus size 14px 2 square root of size 14px 2 end cell row size 14px r size 14px equals cell fraction numerator size 14px 4 size 14px minus size 14px 2 square root of size 14px 2 over denominator square root of size 14px 2 size 14px plus size 14px 1 end fraction end cell row size 14px r size 14px equals cell fraction numerator begin mathsize 14px style left parenthesis 4 minus 2 square root of 2 right parenthesis left parenthesis square root of 2 minus 1 right parenthesis end style over denominator size 14px 2 size 14px minus size 14px 1 end fraction end cell row size 14px r size 14px equals cell size 14px 6 square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px 8 end cell end table  

Maka, koordinat titik B yang merupakan titik pusat lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 2 end style adalah Error converting from MathML to accessible text.

 

Kemudian, perhatikan bahwa garis BD tegak lurus dengan garis singgung f. Diketahui bahwa garis f x + y = 4 memiliki gradien begin mathsize 14px style m subscript f equals negative 1 end style, maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript B D end subscript times m subscript f end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript B D end subscript times open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript B D end subscript end cell equals 1 end table end style

Sehingga persamaan garis BD yang memiliki gradien begin mathsize 14px style m subscript B D end subscript equals 1 end style dan melalui titik Error converting from MathML to accessible text. adalah

 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell size 14px y size 14px minus size 14px 0 end cell size 14px equals cell size 14px 1 begin mathsize 14px style left parenthesis x minus open parentheses 6 square root of 2 minus 6 close parentheses right parenthesis end style end cell row size 14px y size 14px equals cell size 14px x size 14px minus size 14px 6 square root of size 14px 2 size 14px plus size 14px 6 end cell end table 

Selanjutnya, kita cari titik potong antara garis BD dan garis singgung f yang merupakan titik (p, q).

 

size 14px y size 14px equals size 14px x size 14px minus size 14px 6 square root of size 14px 2 size 14px plus size 14px 6 size 14px horizontal ellipsis begin mathsize 14px style left parenthesis 1 right parenthesis end style size 14px x size 14px plus size 14px y size 14px equals size 14px 4 size 14px horizontal ellipsis begin mathsize 14px style left parenthesis 2 right parenthesis end style 

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga kita peroleh

 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell size 14px x size 14px plus begin mathsize 14px style left parenthesis x minus 6 square root of 2 plus 6 right parenthesis end style end cell size 14px equals size 14px 4 row cell size 14px 2 size 14px x size 14px minus size 14px 6 square root of size 14px 2 size 14px plus size 14px 6 end cell size 14px equals size 14px 4 row cell size 14px 2 size 14px x end cell size 14px equals cell size 14px 6 square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px 2 end cell row size 14px x size 14px equals cell size 14px 3 square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px 1 end cell end table 

 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row size 14px y size 14px equals cell size 14px 3 square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px 1 size 14px minus size 14px 6 square root of size 14px 2 size 14px plus size 14px 6 end cell row blank size 14px equals cell size 14px minus size 14px 3 square root of size 14px 2 size 14px plus size 14px 5 end cell end table 

Jadi, size 14px left parenthesis size 14px p size 14px comma size 14px q size 14px right parenthesis size 14px equals begin mathsize 14px style open parentheses 3 square root of 2 minus 1 comma negative 3 square root of 2 plus 5 close parentheses end style sehingga size 14px p size 14px plus size 14px q size 14px equals size 14px 3 square root of size 14px 2 size 14px minus size 14px 1 size 14px minus size 14px 3 square root of size 14px 2 size 14px plus size 14px 5 size 14px equals size 14px 4.  

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah E.

20

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui persamaan lingkaran L1​ dan L2​ berturut-turut x2+y2=4 dan . Lingkaran dan bersinggungan di titik (2, 0). Jika garis f menyinggung lingkaran  di titik (1,3​) yang merupakan garis singgung ju...

44

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia