Diketahui persamaan lingkaran L 1 ​ dan L 2 ​ berturut-turut x 2 + y 2 = 8 dan . Lingkaran dan bersinggungan di titik . Jika garis f menyinggung lingkaran di titik (2, 2) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran di titik (p, q). Nilai p + q adalah ....

Pembahasan

Lingkaran memiliki titik pusat di (0, 0) dan jari-jari 2 dan lingkaran memiliki titik pusat di (a, 0) dan jari-jari r. Perhatikan gambar berikut sebagai ilustrasi dari soal di atas dan kita misalkan beberapa titik yakni A,B,C,dan D. Pertama, kita cari persamaan garis singgung tersebut. Diketahui garis f menyinggung lingkaran di titik (2, 2), maka persamaan garis f adalah 2x + 2y = 8 → x + y = 4. Kemudian, kita cari koordinat titik C yakni titik potong garis f dengan sumbu x. Diketahui bahwa nilai y = 0 pada sumbu x sehingga kita peroleh Jadi, koordinat titik C adalah (4, 0). Selanjutnya, perhatikan segitiga OAC berdasarkan gambar di atas. Dengan prinsip kesebangunan, kita dapatkan Maka, koordinat titik B yang merupakan titik pusat lingkaran adalah . Kemudian, perhatikan bahwa garis BD tegak lurus dengan garis singgung f. Diketahui bahwa garis f x + y = 4 memiliki gradien , maka Sehingga persamaan garis BD yang memiliki gradien dan melalui titik adalah Selanjutnya, kita cari titik potong antara garis BD dan garis singgung f yang merupakan titik (p, q). Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga kita peroleh Jadi, sehingga . Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah E.