Pertanyaan

Diketahui persamaan lingkaran L 1 dan L 2 berturut-turut x 2 + y 2 = 4 dan . Lingkaran dan bersinggungan di titik (2, 0). Jika garis f menyinggung lingkaran di titik (1, 3 ) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran di titik (p, q). Nilai p∙q adalah ....

Diketahui persamaan lingkaran $L_{1}$ dan $L_{2}$ berturut-turut $x^{2} + y^{2} = 4$ dan . Lingkaran dan bersinggungan di titik (2, 0). Jika garis f menyinggung lingkaran di titik (1, $3$ ) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran di titik (p, q). Nilai p∙q adalah ....

R. RGFLSATU

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Lingkaran memiliki titik pusat di (0, 0) dan jari-jari 2 dan lingkaran memiliki titik pusat di (a, 0) dan jari-jari r. Perhatikan gambar berikut sebagai ilustrasi dari soal di atas dan kita misalkan beberapa titik yakni A, B, C, dan D. Pertama, kita cari persamaan garis singgung tersebut. Diketahui garis f menyinggung lingkaran di titik (1, ), maka persamaan garis f adalah . Kemudian, kita cari koordinat titik C yakni titik potong garis f dengan sumbu x. Diketahui bahwa nilai y = 0 pada sumbu x sehingga kita peroleh Jadi, koordinat titik C adalah (4, 0). Selanjutnya, perhatikan segitiga OAC berdasarkan gambar di atas. Dengan prinsip kesebangunan, kita dapatkan Maka, koordinat titik B yang merupakan titik pusat lingkaran adalah . Kemudian, perhatikan bahwa garis BD tegak lurus dengan garis singgung f. Diketahui bahwa garis memiliki gradien , maka Sehingga persamaan garis BD yang memiliki gradien dan melalui titik adalah Selanjutnya, kita cari titik potong antara garis BD dan garis singgung f yang merupakan titik (p, q). Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga kita peroleh Jadi, sehingga Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

Lingkaran memiliki titik pusat di (0, 0) dan jari-jari 2 dan lingkaran memiliki titik pusat di (a, 0) dan jari-jari r.
Perhatikan gambar berikut sebagai ilustrasi dari soal di atas dan kita misalkan beberapa titik yakni A, B, C, dan D.

Pertama, kita cari persamaan garis singgung tersebut. Diketahui garis f menyinggung lingkaran di titik (1,), maka persamaan garis f adalah .

Kemudian, kita cari koordinat titik C yakni titik potong garis f dengan sumbu x. Diketahui bahwa nilai y = 0 pada sumbu x sehingga kita peroleh

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus square root of 3 y end cell equals 4 row cell x plus square root of 3 open parentheses 0 close parentheses end cell equals 4 row x equals 4 end table end style

Jadi, koordinat titik C adalah (4, 0).

Selanjutnya, perhatikan segitiga OAC berdasarkan gambar di atas.

Dengan prinsip kesebangunan, kita dapatkan

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator B D over denominator A O end fraction end cell equals cell fraction numerator C D over denominator C O end fraction end cell row cell r over 2 end cell equals cell fraction numerator 4 minus open parentheses 2 plus r close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row cell r over 2 end cell equals cell fraction numerator 2 minus r over denominator 4 end fraction end cell row cell 2 r end cell equals cell 2 minus r end cell row cell 3 r end cell equals 2 row r equals cell 2 over 3 end cell end table end style$

Maka, koordinat titik B yang merupakan titik pusat lingkaran adalah .

Kemudian, perhatikan bahwa garis BD tegak lurus dengan garis singgung f. Diketahui bahwa garis memiliki gradien $begin mathsize 14px style m subscript f equals negative fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction end style$ , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript B D end subscript times m subscript f end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript B D end subscript times open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript B D end subscript end cell equals cell square root of 3 end cell end table end style$

Sehingga persamaan garis BD yang memiliki gradien dan melalui titik adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y minus 0 end cell equals cell square root of 3 open parentheses x minus 8 over 3 close parentheses end cell row y equals cell square root of 3 x minus 8 over 3 square root of 3 end cell end table end style

Selanjutnya, kita cari titik potong antara garis BD dan garis singgung f yang merupakan titik (p, q).

begin mathsize 14px style y equals square root of 3 x minus 8 over 3 square root of 3 horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses x plus square root of 3 y equals 4 horizontal ellipsis open parentheses 2 close parentheses end style

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga kita peroleh

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus square root of 3 open parentheses square root of 3 x minus 8 over 3 square root of 3 close parentheses end cell equals 4 row cell x plus 3 x minus 8 end cell equals 4 row cell 4 x end cell equals 12 row x equals 3 end table end style

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell square root of 3 open parentheses 3 close parentheses minus 8 over 3 square root of 3 end cell row blank equals cell 3 square root of 3 minus 8 over 3 square root of 3 end cell row blank equals cell 1 third square root of 3 end cell end table end style

Jadi, sehingga

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

Latihan Bab

Konsep Kilat

Persamaan Lingkaran

Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

159

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui persamaan lingkaran L 1 dan L 2 berturut-turut x 2 + y 2 = 8 dan . Lingkaran dan bersinggungan di titik . Jika garis f menyinggung lingkaran di titik (2, 2) yang merupakan garis singgung...

0.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 12 x − 8 y − 48 = 0 di titik (2,-2) dan melalui titik (-1,4) adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 di titik (5,5) dan melalui titik (2,3) adalah ....

212

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 100 di titik (6, 8) dan (-6, 8) berpotongan di titik (p, q). Nilai p + q = ....

631

3.5

Jawaban terverifikasi

Diketahui persamaan lingkaran L 1 dan L 2 berturut-turut x 2 + y 2 = 8 dan . Lingkaran dan bersinggungan di titik . Jika garis f menyinggung lingkaran di titik (2, 2) yang merupakan garis singgung...

0.0

Jawaban terverifikasi