Roboguru

Pertanyaan

Diketahui persamaan lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style dan begin mathsize 14px style L subscript 2 end style berturut-turut begin mathsize 14px style x squared plus y squared equals 4 end style dan begin mathsize 14px style open parentheses x minus a close parentheses squared plus y squared equals r squared end style. Lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style dan begin mathsize 14px style L subscript 2 end style bersinggungan di titik (2, 0). Jika garis f menyinggung lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style di titik (1,begin mathsize 14px style square root of 3 end style) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 2 end style di titik (p, q). Nilai p∙q adalah ....

  1. begin mathsize 14px style square root of 3 end style

  2. begin mathsize 14px style 1 third square root of 3 end style

  3. begin mathsize 14px style 1 third end style

  4. 9begin mathsize 14px style square root of 3 end style

  5. 3

R. RGFLSATU

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style begin mathsize 14px style x squared plus y squared equals 4 end style memiliki titik pusat di (0, 0) dan jari-jari 2 dan lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 2 end style begin mathsize 14px style open parentheses x minus a close parentheses squared plus y squared equals r squared end style memiliki titik pusat di (a, 0) dan jari-jari r.
Perhatikan gambar berikut sebagai ilustrasi dari soal di atas dan kita misalkan beberapa titik yakni A, B, C, dan D.

Pertama, kita cari persamaan garis singgung tersebut. Diketahui garis f menyinggung lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 1 end style begin mathsize 14px style x squared plus y squared equals 4 end style di titik (1,begin mathsize 14px style square root of 3 end style), maka persamaan garis f adalah begin mathsize 14px style x plus square root of 3 y equals 4 end style.

 

Kemudian, kita cari koordinat titik C yakni titik potong garis f dengan sumbu x. Diketahui bahwa nilai y = 0 pada sumbu x sehingga kita peroleh

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus square root of 3 y end cell equals 4 row cell x plus square root of 3 open parentheses 0 close parentheses end cell equals 4 row x equals 4 end table end style

Jadi, koordinat titik C adalah (4, 0).

Selanjutnya, perhatikan segitiga OAC berdasarkan gambar di atas.

Dengan prinsip kesebangunan, kita dapatkan

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator B D over denominator A O end fraction end cell equals cell fraction numerator C D over denominator C O end fraction end cell row cell r over 2 end cell equals cell fraction numerator 4 minus open parentheses 2 plus r close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row cell r over 2 end cell equals cell fraction numerator 2 minus r over denominator 4 end fraction end cell row cell 2 r end cell equals cell 2 minus r end cell row cell 3 r end cell equals 2 row r equals cell 2 over 3 end cell end table end style

Maka, koordinat titik B yang merupakan titik pusat lingkaran begin mathsize 14px style L subscript 2 end style adalah begin mathsize 14px style open parentheses 2 plus r comma 0 close parentheses equals open parentheses 2 plus 2 over 3 comma 0 close parentheses equals open parentheses 8 over 3 comma 0 close parentheses end style.

 

Kemudian, perhatikan bahwa garis BD tegak lurus dengan garis singgung f. Diketahui bahwa garis undefined memiliki gradien begin mathsize 14px style m subscript f equals negative fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction end style, maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript B D end subscript times m subscript f end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript B D end subscript times open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript B D end subscript end cell equals cell square root of 3 end cell end table end style

Sehingga persamaan garis BD yang memiliki gradien begin mathsize 14px style m subscript B D end subscript equals square root of 3 end style dan melalui titik begin mathsize 14px style B open parentheses 8 over 3 comma 0 close parentheses end style adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y minus 0 end cell equals cell square root of 3 open parentheses x minus 8 over 3 close parentheses end cell row y equals cell square root of 3 x minus 8 over 3 square root of 3 end cell end table end style

Selanjutnya, kita cari titik potong antara garis BD dan garis singgung f yang merupakan titik (p, q).

begin mathsize 14px style y equals square root of 3 x minus 8 over 3 square root of 3 horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses x plus square root of 3 y equals 4 horizontal ellipsis open parentheses 2 close parentheses end style

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga kita peroleh

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus square root of 3 open parentheses square root of 3 x minus 8 over 3 square root of 3 close parentheses end cell equals 4 row cell x plus 3 x minus 8 end cell equals 4 row cell 4 x end cell equals 12 row x equals 3 end table end style

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell square root of 3 open parentheses 3 close parentheses minus 8 over 3 square root of 3 end cell row blank equals cell 3 square root of 3 minus 8 over 3 square root of 3 end cell row blank equals cell 1 third square root of 3 end cell end table end style

Jadi, begin mathsize 14px style open parentheses p comma q close parentheses equals open parentheses 3 comma 1 third square root of 3 close parentheses end style sehingga begin mathsize 14px style p times q equals 3 times 1 third square root of 3 equals square root of 3. end style

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

45

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui persamaan lingkaran  L1​ dan L2​ berturut-turut x2+y2=8 dan . Lingkaran dan bersinggungan di titik . Jika garis f menyinggung lingkaran  di titik (2, 2) yang merupakan garis singgung juga un...

24

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia