Pertanyaan

Diketahui fungsi f ( x ) = f ( x + 3 ) untuk setiap x . Jika ∫ 0 3 f ( x ) d x = A , maka hasil dari ∫ 4 10 f ( x + 9 ) d x adalah ....

Diketahui fungsi $f (x) = f (x + 3)$ untuk setiap $x$ . Jika $\int_{0}^{3} f (x) d x = A$ , maka hasil dari $\int_{4}^{10} f (x + 9) d x$ adalah ....

$A$
$2 A$
$3 A$
$4 A$
$5 A$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Diketahui fungsi f ( x ) = f ( x + 3 ) untuk setiap x .Oleh karena itu, didapat penjabaran sebagai berikut. f ( x ) f ( x + 3 ) f ( x + 6 ) = = = f ( x + 3 ) f ( ( x + 3 ) + 3 ) = f ( x + 6 ) f ( ( x + 6 ) + 3 ) = f ( x + 9 ) Berdasarkan perhitungan di atas, didapat bahwa f ( x ) = f ( x + 3 ) = f ( x + 6 ) = f ( x + 9 ) . Kemudian, ingat sifat integral berikut! ∫ a c f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x dengan a < b < c . Oleh karena itu, bentuk integral pada soal dapat dijabarkan sebagai berikut. ∫ 4 10 f ( x + 9 ) d x = ∫ 4 6 f ( x + 9 ) d x + ∫ 6 9 f ( x + 9 ) d x + ∫ 9 10 f ( x + 9 ) d x = ∫ 4 6 f ( x ) d x + ∫ 6 9 f ( x ) d x + ∫ 9 10 f ( x ) d x Selanjutnya, sederhanakan masing-masing bentuk integral di atas sebagai berikut. Bentuk I : ∫ 4 6 f ( x ) d x Untuk bentuk ∫ 4 6 f ( x ) d x ,misalkan x = u + 3 sehingga diperoleh bentuk berikut. x d u d x ∫ d u d x d u ∫ d x = = = = u + 3 1 ∫ d u ∫ d u Lalu, ubah juga batas integral ke dalam variabel u . Untuk x = 4 , didapat nilai u sebagai berikut. x = u + 3 u u → = = u = x − 3 4 − 3 1 Untuk x = 6 , didapat nilai u sebagai berikut. x = u + 3 u u → = = u = x − 3 6 − 3 3 Jadi, didapat bahwa ∫ 4 6 f ( x ) d x = ∫ 1 3 f ( u + 3 ) d u . Bentuk II : ∫ 6 9 f ( x ) d x Untuk bentuk ∫ 6 9 f ( x ) d x , misalkan x = u + 6 sehingga diperoleh bentuk berikut. x d u d x ∫ d u d x d u ∫ d x = = = = u + 6 1 ∫ d u ∫ d u Untuk x = 6 , didapat nilai u sebagai berikut. x = u + 6 u u → = = u = x − 6 6 − 6 0 Untuk x = 9 , didapat nilai u sebagai berikut. x = u + 6 u u → = = u = x − 6 9 − 6 3 Jadi, didapat bahwa ∫ 6 9 f ( x ) d x = ∫ 0 3 f ( u + 6 ) d u . Bentuk III : ∫ 9 10 f ( x ) d x Untuk bentuk ∫ 9 10 f ( x ) d x , misalkan x = u + 9 sehingga diperoleh bentuk berikut. x d u d x ∫ d u d x d u ∫ d x = = = = u + 9 1 ∫ d u ∫ d u Untuk x = 9 , didapat nilai u sebagai berikut. x = u + 9 u u → = = u = x − 9 9 − 9 0 Untuk x = 10 , didapat nilai u sebagai berikut. x = u + 9 u u → = = u = x − 9 10 − 9 1 Jadi, didapat bahwa ∫ 9 10 f ( x ) d x = ∫ 0 1 f ( u + 9 ) d u . Kemudian, ingat bahwa ∫ 0 3 f ( x ) d x = A , maka hasil dari ∫ 4 10 f ( x + 9 ) d x dapat ditentukan sebagai berikut. ∫ 4 10 f ( x + 9 ) d x = ∫ 4 6 f ( x ) d x + ∫ 6 9 f ( x ) d x + ∫ 9 10 f ( x ) d x = ∫ 1 3 f ( u + 3 ) d u + ∫ 0 3 f ( u + 6 ) d u + ∫ 0 1 f ( u + 9 ) d u = ∫ 1 3 f ( x + 3 ) d x + ∫ 0 3 f ( x + 6 ) d x + ∫ 0 1 f ( x + 9 ) d x = ∫ 1 3 f ( x ) d x + ∫ 0 3 f ( x ) d x + ∫ 0 1 f ( x ) d x = ∫ 0 3 f ( x ) d x + ∫ 0 1 f ( x ) d x + ∫ 1 3 f ( x ) d x = ∫ 0 3 f ( x ) d x + ∫ 0 3 f ( x ) d x = A + A = 2 A Dengan demikian, hasil dari ∫ 4 10 f ( x + 9 ) d x adalah 2 A . Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Diketahui fungsi $f (x) = f (x + 3)$ untuk setiap $x$ . Oleh karena itu, didapat penjabaran sebagai berikut.

$f (x) f (x + 3) f (x + 6) = = = f (x + 3) f ((x + 3) + 3) = f (x + 6) f ((x + 6) + 3) = f (x + 9)$

Berdasarkan perhitungan di atas, didapat bahwa $f (x) = f (x + 3) = f (x + 6) = f (x + 9)$ .

Kemudian, ingat sifat integral berikut!

$\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$

dengan $a < b < c$ .

Oleh karena itu, bentuk integral pada soal dapat dijabarkan sebagai berikut.

$\int_{4}^{10} f (x + 9) d x = \int_{4}^{6} f (x + 9) d x + \int_{6}^{9} f (x + 9) d x + \int_{9}^{10} f (x + 9) d x = \int_{4}^{6} f (x) d x + \int_{6}^{9} f (x) d x + \int_{9}^{10} f (x) d x$

Selanjutnya, sederhanakan masing-masing bentuk integral di atas sebagai berikut.

Bentuk I: $\int_{4}^{6} f (x) d x$

Untuk bentuk $\int_{4}^{6} f (x) d x$ , misalkan $x = u + 3$ sehingga diperoleh bentuk berikut.

$x \frac{d x}{d u} \int \frac{d x}{d u} d u \int d x = = = = u + 3 1 \int d u \int d u$

Lalu, ubah juga batas integral ke dalam variabel $u$ .

Untuk $x = 4$ , didapat nilai $u$ sebagai berikut.

$x = u + 3 u u \to = = u = x - 3 4 - 3 1$

Untuk $x = 6$ , didapat nilai $u$ sebagai berikut.

$x = u + 3 u u \to = = u = x - 3 6 - 3 3$

Jadi, didapat bahwa $\int_{4}^{6} f (x) d x = \int_{1}^{3} f (u + 3) d u$ .

Bentuk II: $\int_{6}^{9} f (x) d x$

Untuk bentuk $\int_{6}^{9} f (x) d x$ , misalkan $x = u + 6$ sehingga diperoleh bentuk berikut.

$x \frac{d x}{d u} \int \frac{d x}{d u} d u \int d x = = = = u + 6 1 \int d u \int d u$

Untuk $x = 6$ , didapat nilai $u$ sebagai berikut.

$x = u + 6 u u \to = = u = x - 6 6 - 6 0$

Untuk $x = 9$ , didapat nilai $u$ sebagai berikut.

$x = u + 6 u u \to = = u = x - 6 9 - 6 3$

Jadi, didapat bahwa $\int_{6}^{9} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (u + 6) d u$ .

Bentuk III: $\int_{9}^{10} f (x) d x$

Untuk bentuk $\int_{9}^{10} f (x) d x$ , misalkan $x = u + 9$ sehingga diperoleh bentuk berikut.

$x \frac{d x}{d u} \int \frac{d x}{d u} d u \int d x = = = = u + 9 1 \int d u \int d u$

Untuk $x = 9$ , didapat nilai $u$ sebagai berikut.

$x = u + 9 u u \to = = u = x - 9 9 - 9 0$

Untuk $x = 10$ , didapat nilai $u$ sebagai berikut.

$x = u + 9 u u \to = = u = x - 9 10 - 9 1$

Jadi, didapat bahwa $\int_{9}^{10} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (u + 9) d u$ .

Kemudian, ingat bahwa $\int_{0}^{3} f (x) d x = A$ , maka hasil dari $\int_{4}^{10} f (x + 9) d x$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$\int_{4}^{10} f (x + 9) d x = \int_{4}^{6} f (x) d x + \int_{6}^{9} f (x) d x + \int_{9}^{10} f (x) d x = \int_{1}^{3} f (u + 3) d u + \int_{0}^{3} f (u + 6) d u + \int_{0}^{1} f (u + 9) d u = \int_{1}^{3} f (x + 3) d x + \int_{0}^{3} f (x + 6) d x + \int_{0}^{1} f (x + 9) d x = \int_{1}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x = A + A = 2 A$

Dengan demikian, hasil dari $\int_{4}^{10} f (x + 9) d x$ adalah $2 A$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Grafik fungsi y = 2 x + 2 − ( 2 1 ) x berada di atas grafik fungsi y = 2 x + 2 pada interval ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Banyaknya bilangan ganjil n = x yz dengan 3 digit berbeda dan 4 < y < z adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui sisa pembagian suku banyak ( 2 f ( x ) − g ( x ) ) oleh ( x 2 + x − 6 ) adalah 9 . Kemudian, sisa pembagian suku banyak ( f ( x ) + g ( x ) ) oleh ( x 2 − x − 2 ) adalah 3 x . Sisa pembagian...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikankubus A BC D . EFG H dengan P dan Q berturut-turut merupakan titik tengah A E dan A B . Nilai dari cos ∠ PQG adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi