Pertanyaan

Diberikankubus A BC D . EFG H dengan P dan Q berturut-turut merupakan titik tengah A E dan A B . Nilai dari cos ∠ PQG adalah ....

Diberikan kubus $A BC D . EFG H$ dengan $P$ dan $Q$ berturut-turut merupakan titik tengah $\overline{A E}$ dan $\overline{A B}$ . Nilai dari $cos ∠ PQG$ adalah ....

$\frac{1}{15} 2$
$\frac{1}{6} 2$
$\frac{13}{18}$
$\frac{8}{9}$
$\frac{13}{30} 2$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Diketahui kubus A BC D . EFG H dengan P dan Q berturut-turut merupakan titik tengah A E dan A B . Lalu, ditanyakan nilai dari cos ∠ PQG . Untuk menentukan nilai cos ∠ PQG ,terdapat beberapa langkah yang diperlukan seperti di bawah ini. Langkah Pertama: Ilustrasikan informasi pada soal. Kubus A BC D . EFG H dengan P dan Q berturut-turut merupakan titik tengah A E dan A B dapat digambarkan sebagai berikut. Misalkan panjang rusuk kubus tersebut adalah 2 a . Karena P dan Q berturut-turut merupakan titik tengah A E dan A B , maka didapat ukuran panjang rusuk berikut. A P A Q = = EP ¯ = a BQ ¯ = a Lalu, berdasarkan gambar di atas, nilai cos ∠ PQG dapat ditentukan dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga PQG . Langkah Kedua: Tentukan panjang PQ . Perhatikan segitiga P A Q berikut! Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka panjang PQ dapat dihitung sebagai berikut. PQ = = = = ( A P ) 2 + ( A Q ) 2 a 2 + a 2 2 a 2 a 2 Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh PQ = a 2 . Langkah Ketiga: Tentukan panjang PG . Sebelum menentukan panjang PG , terlebih dahulu tentukan panjang P H . Perhatikan segitiga PE H berikut! Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka panjang P H dapat dihitung sebagai berikut. P H = = = = = ( PE ) 2 + ( E H ) 2 a 2 + ( 2 a ) 2 a 2 + 4 a 2 5 a 2 a 5 Kemudian, perhatikan segitiga P H G berikut! Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka panjang PG dapat dihitung sebagai berikut. PG = = = = = ( P H ) 2 + ( H G ) 2 ( a 5 ) 2 + ( 2 a ) 2 5 a 2 + 4 a 2 9 a 2 3 a Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh PG = 3 a . Langkah Keempat: Tentukan panjang GQ . Perhatikan bahwa QC = P H ¯ , GC = G H ¯ , serta segitiga P H G dan GCQ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku GQ = PG = 3 a . Langkah Kelima: Tentukan nilai cos ∠ PQG . Nilaidari cos ∠ PQG dapat ditentukan sebagai berikut. ( PG ) 2 ( 3 a ) 2 9 a 2 0 − 2 a 2 − 6 a 2 2 − 2 a 2 3 2 1 3 2 1 ⋅ 2 2 6 1 2 cos ∠ PQG = = = = = = = = = = ( PQ ) 2 + ( GQ ) 2 − 2 ⋅ ( PQ ) ⋅ ( GQ ) ⋅ cos ∠ PQG ( a 2 ) 2 + ( 3 a ) 2 − 2 ⋅ a 2 ⋅ 3 a ⋅ cos ∠ PQG 2 a 2 + 9 a 2 − 6 a 2 2 ⋅ cos ∠ PQG 2 a 2 − 6 a 2 2 ⋅ cos ∠ PQG − 6 a 2 2 ⋅ cos ∠ PQG cos ∠ PQG cos ∠ PQG cos ∠ PQG cos ∠ PQG 6 1 2 Dengan demikian, nilaidari cos ∠ PQG adalah 6 1 2 . Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Diketahui kubus $A BC D . EFG H$ dengan $P$ dan $Q$ berturut-turut merupakan titik tengah $\overline{A E}$ dan $\overline{A B}$ . Lalu, ditanyakan nilai dari $cos ∠ PQG$ .

Untuk menentukan nilai $cos ∠ PQG$ , terdapat beberapa langkah yang diperlukan seperti di bawah ini.

Langkah Pertama: Ilustrasikan informasi pada soal.

Kubus $A BC D . EFG H$ dengan $P$ dan $Q$ berturut-turut merupakan titik tengah $\overline{A E}$ dan $\overline{A B}$ dapat digambarkan sebagai berikut.

Misalkan panjang rusuk kubus tersebut adalah $2 a$ .

Karena $P$ dan $Q$ berturut-turut merupakan titik tengah $\overline{A E}$ dan $\overline{A B}$ , maka didapat ukuran panjang rusuk berikut.

$\overline{A P} \overline{A Q} = = EP ¯ = a BQ ¯ = a$

Lalu, berdasarkan gambar di atas, nilai $cos ∠ PQG$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga $PQG$ .

Langkah Kedua: Tentukan panjang $\overline{PQ}$ .

Perhatikan segitiga $P A Q$ berikut!

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka panjang $\overline{PQ}$ dapat dihitung sebagai berikut.

$\overline{PQ} = = = = (\overline{A P})^{2} + (\overline{A Q})^{2} a^{2} + a^{2} 2 a^{2} a 2$

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh $\overline{PQ} = a 2$ .

Langkah Ketiga: Tentukan panjang $\overline{PG}$ .

Sebelum menentukan panjang $\overline{PG}$ , terlebih dahulu tentukan panjang $\overline{P H}$ .

Perhatikan segitiga $PE H$ berikut!

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka panjang $\overline{P H}$ dapat dihitung sebagai berikut.

$\overline{P H} = = = = = (\overline{PE})^{2} + (\overline{E H})^{2} a^{2} + (2 a)^{2} a^{2} + 4 a^{2} 5 a^{2} a 5$

Kemudian, perhatikan segitiga $P H G$ berikut!

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka panjang $\overline{PG}$ dapat dihitung sebagai berikut.

$\overline{PG} = = = = = (\overline{P H})^{2} + (\overline{H G})^{2} (a 5)^{2} + (2 a)^{2} 5 a^{2} + 4 a^{2} 9 a^{2} 3 a$

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh $\overline{PG} = 3 a$ .

Langkah Keempat: Tentukan panjang $\overline{GQ}$ .

Perhatikan bahwa $\overline{QC} = P H ¯$ , $\overline{GC} = G H ¯$ , serta segitiga $P H G$ dan $GCQ$ merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku $\overline{GQ} = \overline{PG} = 3 a$ .

Langkah Kelima: Tentukan nilai $cos ∠ PQG$ .

Nilai dari $cos ∠ PQG$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$(\overline{PG})^{2} (3 a)^{2} 9 a^{2} 0 - 2 a^{2} \frac{- 2 a ^{2}}{- 6 a ^{2} 2} \frac{1}{3 2} \frac{1}{3 2} \cdot \frac{2}{2} \frac{1}{6} 2 cos ∠ PQG = = = = = = = = = = (\overline{PQ})^{2} + (\overline{GQ})^{2} - 2 \cdot (\overline{PQ}) \cdot (\overline{GQ}) \cdot cos ∠ PQG (a 2)^{2} + (3 a)^{2} - 2 \cdot a 2 \cdot 3 a \cdot cos ∠ PQG 2 a^{2} + 9 a^{2} - 6 a^{2} 2 \cdot cos ∠ PQG 2 a^{2} - 6 a^{2} 2 \cdot cos ∠ PQG - 6 a^{2} 2 \cdot cos ∠ PQG cos ∠ PQG cos ∠ PQG cos ∠ PQG cos ∠ PQG \frac{1}{6} 2$