Pertanyaan

Diketahui fungsi trigonometri f ( x ) = sin ( x − π 2 x − π ) . Tentukan: a. turunan pertama f ( x ) ; b. nilai f ′ ( 2 π ) .

Diketahui fungsi trigonometri $f (x) = sin (\frac{2 x - π}{x - π})$ . Tentukan:

a. turunan pertama $f (x);$

b. nilai $f^{'} (\frac{π}{2})$ .

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

turunan dari fungsi f ( x ) adalah f ′ ( x ) = − ( x − π ) 2 π cos x − π 2 x − π dan nilai dari f ′ ( 2 π ) adalah − 4 .

turunan dari fungsi

f (x)

adalah

f^{'} (x) = - \frac{π}{( x - π ) ^{2}} cos \frac{2 x - π}{x - π}

dan nilai dari

f^{'} (\frac{π}{2})

adalah

- 4

Pembahasan

Untuk menjawab soal di atas gunakan aturan pembagian pada turunan dan aturan rantai turunan. Pada soal diberikan , maka untuk mencari turunan dari soal tersebut kita gunakan aturan rantai yaitu: f ′ ( x ) = d b d a ⋅ d x d b Selanjutnya kita misalkan menjadi: a b = = sin b x − π 2 x − π Lalu cari turunan dari dan b dengan cara sebagai berikut: a d b d a = = sin b cos b Makaturunan dari b yaitu: b u v d x d b = = = = = = = x − π 2 x − π gunakan aturan pembagian 2 x − π → u ′ = 2 x − π → v ′ = 1 maka , v 2 u ′ v − u v ′ ( x − π ) 2 2 ⋅ ( x − π ) − ( 2 x − π ) ⋅ 1 ( x − π ) 2 2 x − 2 π − 2 x + π ( x − π ) 2 − π Dengan demikian turunan dari fungsi f ( x ) yaitu: f ′ ( x ) = = = = d b d a ⋅ d x d b cos b ⋅ − ( x − π ) 2 π cos x − π 2 x − π ⋅ − ( x − π ) 2 π − ( x − π ) 2 π cos x − π 2 x − π Untuk bagian (b) ditanyakan f ′ ( 2 π ) maka kita substitusikan 2 π pada f ′ ( x ) f ′ ( x ) f ′ ( 2 π ) = = = = = = = = − ( x − π ) 2 π cos ( x − π 2 x − π ) − ( 2 π − π ) 2 π cos ⎝ ⎛ 2 π − π 2 ⋅ 2 π − π ⎠ ⎞ − ( − 2 π ) 2 π cos ⎝ ⎛ − 2 π π − π ⎠ ⎞ − 4 π π cos ⎝ ⎛ − 2 π 0 ⎠ ⎞ − π ⋅ π 4 cos ( 0 ) − 4 ⋅ 1 − 4 Dengan demikian, turunan dari fungsi f ( x ) adalah f ′ ( x ) = − ( x − π ) 2 π cos x − π 2 x − π dan nilai dari f ′ ( 2 π ) adalah − 4 .

Untuk menjawab soal di atas gunakan aturan pembagian pada turunan dan aturan rantai turunan.

Pada soal diberikan $f left parenthesis x right parenthesis equals sin space open parentheses fraction numerator 2 x minus straight pi over denominator x minus straight pi end fraction close parentheses$ , maka untuk mencari turunan dari soal tersebut kita gunakan aturan rantai yaitu:

$f^{'} (x) = \frac{d a}{d b} \cdot \frac{d b}{d x}$

Selanjutnya kita misalkan menjadi:

$a b = = sin b \frac{2 x - π}{x - π}$

Lalu cari turunan dari $a$ dan $b$ dengan cara sebagai berikut:

$a \frac{d a}{d b} = = sin b cos b$

Maka turunan dari $b$ yaitu:

$b u v \frac{d b}{d x} = = = = = = = \frac{2 x - π}{x - π} gunakan aturan pembagian 2 x - π \to u^{'} = 2 x - π \to v^{'} = 1 maka, \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} \frac{2 \cdot ( x - π ) - ( 2 x - π ) \cdot 1}{( x - π ) ^{2}} \frac{2 x - 2 π - 2 x + π}{( x - π ) ^{2}} \frac{- π}{( x - π ) ^{2}}$

Dengan demikian turunan dari fungsi $f (x)$ yaitu:

$f^{'} (x) = = = = \frac{d a}{d b} \cdot \frac{d b}{d x} cos b \cdot - \frac{π}{( x - π ) ^{2}} cos \frac{2 x - π}{x - π} \cdot - \frac{π}{( x - π ) ^{2}} - \frac{π}{( x - π ) ^{2}} cos \frac{2 x - π}{x - π}$

Untuk bagian (b) ditanyakan $f^{'} (\frac{π}{2})$ maka kita substitusikan $\frac{π}{2}$ pada $f^{'} (x)$

$f^{'} (x) f^{'} (\frac{π}{2}) = = = = = = = = - \frac{π}{( x - π ) ^{2}} cos (\frac{2 x - π}{x - π}) - \frac{π}{( \frac{π}{2} - π ) ^{2}} cos ⎝ ⎛ \frac{2 \cdot \frac{π}{2} - π}{\frac{π}{2} - π} ⎠ ⎞ - \frac{π}{( - \frac{π}{2} ) ^{2}} cos ⎝ ⎛ \frac{π - π}{- \frac{π}{2}} ⎠ ⎞ - \frac{π}{\frac{π}{4}} cos ⎝ ⎛ \frac{0}{- \frac{π}{2}} ⎠ ⎞ - π \cdot \frac{4}{π} cos (0) - 4 \cdot 1 - 4$

Dengan demikian, turunan dari fungsi $f (x)$ adalah $f^{'} (x) = - \frac{π}{( x - π ) ^{2}} cos \frac{2 x - π}{x - π}$ dan nilai dari $f^{'} (\frac{π}{2})$ adalah $- 4$ .