Pertanyaan

Diketahui fungsi f dinyatakan oleh f ( x ) = sin 3 x + cos 3 x untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 12 0 ∘ .Tentukan titik minimumnya!

Diketahui fungsi f dinyatakan oleh $f (x) = sin 3 x + cos 3 x$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 12 0^{\circ}$ . Tentukan titik minimumnya!

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat aturan turunan fungsi trigonometri : Jika dan , titik disebut titik minimum fungsi. Jika dan , titik disebut titik maksimum fungsi. Langkah-langkah menentukan titik stasioner sebagai berikut. Menentukan turunan pertama fungsi. Titik stasioner dicapai pada saat . Menentukan jenis stasioner. 1. Menentukan turunan pertama fungsi. , maka 2. Titik stasioner dicapai pada saat . 3. Menentukan jenis stasioner. Untuk menentukan jenis stasioner digunakan turunan kedua fungsi. , maka Untuk , maka : Untuk , maka : Nilai maksimum fungsi : atau Maka, titik dan merupakan titik maksimum fungsi.

Ingat aturan turunan fungsi trigonometri :

Jika dan , titik disebut titik minimum fungsi.
Jika dan , titik disebut titik maksimum fungsi.

Langkah-langkah menentukan titik stasioner sebagai berikut.

Menentukan turunan pertama fungsi.
Titik stasioner dicapai pada saat .
Menentukan jenis stasioner.

1. Menentukan turunan pertama fungsi.

f left parenthesis x right parenthesis equals sin space x minus cos space x , maka f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals cos space x plus sin space x

2. Titik stasioner dicapai pada saat f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 0 .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals 0 row cell cos space x plus sin space x end cell equals 0 row cell fraction numerator cos space x over denominator cos space x end fraction plus fraction numerator sin space x over denominator cos space x end fraction end cell equals cell fraction numerator 0 over denominator cos space x end fraction end cell row cell 1 plus tan space x end cell equals 0 row cell tan space x end cell equals cell negative 1 end cell row cell tan space x end cell equals cell tan space 135 degree space atau space 315 degree end cell row x equals cell 135 degree space atau space 315 degree end cell end table$

3. Menentukan jenis stasioner.

Untuk menentukan jenis stasioner digunakan turunan kedua fungsi.

f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals cos space x plus sin space x , maka table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell negative sin space x plus cos space x end cell row blank equals cell cos space x minus sin space x end cell end table

Untuk table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 135 degree end cell end table , maka :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell cos space x minus sin space x end cell row cell f apostrophe apostrophe left parenthesis 135 degree right parenthesis end cell equals cell cos space left parenthesis 135 degree right parenthesis minus sin space left parenthesis 135 degree right parenthesis end cell row blank equals cell negative 1 minus open parentheses fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell negative open parentheses fraction numerator 2 plus square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses less than 0 space left parenthesis maksimum right parenthesis end cell end table$

Untuk table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 315 degree end cell end table , maka :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell cos space x minus sin space x end cell row cell f apostrophe apostrophe left parenthesis 315 degree right parenthesis end cell equals cell cos space left parenthesis 315 degree right parenthesis minus sin space left parenthesis 315 degree right parenthesis end cell row blank equals cell negative 1 minus open parentheses negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 plus square root of 2 over denominator 2 end fraction less than 0 space left parenthesis maksimum right parenthesis end cell end table$

Nilai maksimum fungsi :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell sin space x minus cos space x end cell row cell f left parenthesis 135 degree right parenthesis end cell equals cell sin space left parenthesis 135 degree right parenthesis minus cos space left parenthesis 135 degree right parenthesis end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction minus left parenthesis negative 1 right parenthesis end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 2 plus 2 over denominator 2 end fraction end cell end table$

atau

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell sin space x minus cos space x end cell row cell f left parenthesis 315 degree right parenthesis end cell equals cell sin space left parenthesis 315 degree right parenthesis minus cos space left parenthesis 315 degree right parenthesis end cell row blank equals cell negative fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction minus left parenthesis negative 1 right parenthesis end cell row blank equals cell fraction numerator negative square root of 2 plus 2 over denominator 2 end fraction end cell end table$

Maka, titik $open parentheses table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator square root of 2 plus 2 over denominator 2 end fraction end cell end table comma space 135 degree close parentheses$ dan $open parentheses table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator negative square root of 2 plus 2 over denominator 2 end fraction end cell end table comma space 315 degree close parentheses$ merupakan titik maksimum fungsi.