Diketahui empat titik A , B , C , dan D sehingga jumlah setiap dua sudut berhadapan dari segi empat tersebutsama dengan 18 0 ∘ . Apakah ada lingkaran yang melalui keempat titik tersebut? Untuk itu, kita akan melakukan analisis berikut. a. Kita mengetahui bahwa melalui tiga titik dapat dibuat lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut. Misalkan lingkaran tersebut tidak melalui titik D , tetapi memotong salah satu sisi di E . Jelaskan mengapa ∠ A EC + ∠ A BC = 18 0 ∘ . b. Apakah mungkin bahwa ∠ A D C + ∠ A BC = 18 0 ∘ dan ∠ A EC + ∠ A BC = 18 0 ∘ sekaligus? Tuliskan kesimpulanmu.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut dijelaskan pada uraian di bawah ini. Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur adalah 18 0 ∘ . Ingat! Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besarsudut keliling adalah setengah kali besar sudut pusat tersebut. a. Perhatikan sudut keliling ∠ AEC dan ∠ ABC ∠ AEC = 2 1 ​ × ( ∠ AOB + ∠ BOC ) ∠ ABC = 2 1 ​ × ( ∠ AOE + ∠ EOC ) Diperoleh: ∠ AEC + ∠ ABC ​ = = = = ​ 2 1 ​ ( ∠ AOB + ∠ BOC ) + 2 1 ​ ( ∠ AOE + ∠ EOC ) 2 1 ​ ( ∠ AOB + ∠ BOC + ∠ AOE + ∠ EOC ) 2 1 ​ × 36 0 ∘ 18 0 ∘ ​ Jadi, ∠ AEC + ∠ ABC ​ = ​ 18 0 ∘ ​ b. Perhatikan bahwa sudut ∠ AEC merupakan sudut luar segitiga ADE . Besar sudut luar sebuah segitiga sama dengan jumlah sudut dalam segitiga yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut. ∠ ADC + ∠ DAE ∠ ADC ​ = = ​ ∠ AEC ∠ AEC − ∠ DAE ​ Dapat ditentukan hubungan berikut. ∠ ADC + ∠ ABC ​ = = = ​ ( ∠ AEC − ∠ DAE ) + ∠ ABC ∠ AEC + ∠ ABC − ∠ DAE 18 0 ∘ − ∠ DAE ​ Diperoleh Jadi, tidak mungkin bahwa ∠ ADC + ∠ ABC = 18 0 ∘ dan ∠ AEC + ∠ ABC ​ = ​ 18 0 ∘ ​ sekaligus. Diperoleh kesimpulan bahwa jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segiempat tali busur adalah 18 0 ∘ . Dengan demikian, jawaban soal tersebut telah dijelaskan pada uraian di atas.