Pertanyaan

Diketahui empat buah titik terletak diruang dengan koordinat masing-masing adalah A ( 2 , − 1 , 0 ) , B ( 0 , − 1 , − 1 ) , C ( 1 , 1 , − 3 ) dan D ( 3 , 1 , − 2 ) . Dengan menggunakan teorema ortogonalitas, tunjukkan bahwa ABCD adalah persegi panjang.

Diketahui empat buah titik terletak diruang dengan koordinat masing-masing adalah $A (2, - 1, 0)$ , $B (0, - 1, - 1)$ , $C (1, 1, - 3)$ dan $D (3, 1, - 2)$ . Dengan menggunakan teorema ortogonalitas, tunjukkan bahwa $ABCD$ adalah persegi panjang.

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti ABCD adalah persegi panjang.

terbukti

ABCD

adalah persegi panjang.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebutadalah karna AB ⋅ AD = 0 dan CB ⋅ CD = 0 maka terbukti ABCD adalah persegi panjang. Ingat! Jika diketahui titik A ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan titik B( x 2 , y 2 . z 2 ) maka vektor AB adalah: AB = ⎝ ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ x 1 y 1 z 1 ⎠ ⎞ Jika di ketahui vektor a = ⎝ ⎛ x 1 y 1 z 1 ⎠ ⎞ dan vektor b = ⎝ ⎛ x 2 y 2 z 2 ⎠ ⎞ maka hasil kali skalar vektor a dan vektor b adalah: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Teorema Ortogonalitas: jika a ⋅ b = 0 maka vektor a tegak lurus/ ortogonal terhadap vektor b atau θ = 9 0 ∘ . Perhatikan gambar dibawah ini. Agar ABCD membentuk persegi panjang. berdasarkan teorema ortogonalitas maka haruslah AB ⋅ AD = 0 dan CB ⋅ CD = 0 Pertama akan dicari AB , AD , CB , CD AB = = ⎝ ⎛ 0 − 1 − 1 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 2 − 1 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 0 − 1 ⎠ ⎞ AD = = ⎝ ⎛ 3 1 − 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 2 − 1 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 2 − 2 ⎠ ⎞ CB = = ⎝ ⎛ 0 − 1 − 1 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 1 1 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 − 2 2 ⎠ ⎞ CD = = ⎝ ⎛ 3 1 − 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 1 1 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 0 1 ⎠ ⎞ Selanjutnya akan dibuktikan AB ⋅ AD = 0 AB ⋅ AD = = = = ⎝ ⎛ − 2 0 − 1 ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ 1 2 − 2 ⎠ ⎞ ( − 2 ) ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) − 2 + 2 0 selanjutnya akan dibuktikan CB ⋅ CD = 0 CB ⋅ CD = = = = ⎝ ⎛ − 1 − 2 2 ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ 2 0 1 ⎠ ⎞ ( − 1 ) ⋅ 2 + ( − 2 ) ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 − 2 + 2 0 Karna terbukti AB ⋅ AD = 0 dan CB ⋅ CD = 0 maka terbukti ABCD adalah persegi panjang. Dengan demikian, terbukti ABCD adalah persegi panjang.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah karna $AB \cdot AD = 0$ dan $CB \cdot CD = 0$ maka terbukti $ABCD$ adalah persegi panjang.

Ingat!

Jika diketahui titik $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan titik $B(x_{2}, y_{2} . z_{2})$ maka vektor $AB$ adalah:

$AB = ⎝ ⎛ x_{2} y_{2} z_{2} ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ x_{1} y_{1} z_{1} ⎠ ⎞$

Jika di ketahui vektor $a = ⎝ ⎛ x_{1} y_{1} z_{1} ⎠ ⎞$ dan vektor $b = ⎝ ⎛ x_{2} y_{2} z_{2} ⎠ ⎞$ maka hasil kali skalar vektor $a$ dan vektor $b$ adalah:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

Teorema Ortogonalitas: jika $a \cdot b = 0$ maka vektor $a$ tegak lurus/ ortogonal terhadap vektor $b$ atau $θ = 9 0^{\circ}$ .

Perhatikan gambar dibawah ini.

Agar $ABCD$ membentuk persegi panjang. berdasarkan teorema ortogonalitas maka haruslah $AB \cdot AD = 0$ dan $CB \cdot CD = 0$

Pertama akan dicari $AB$ , $AD$ , $CB$ , $CD$

$AB = = ⎝ ⎛ 0 - 1 - 1 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 2 - 1 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 0 - 1 ⎠ ⎞$
$AD = = ⎝ ⎛ 31 - 2 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 2 - 1 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 12 - 2 ⎠ ⎞$
$CB = = ⎝ ⎛ 0 - 1 - 1 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 11 - 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 1 - 2 2 ⎠ ⎞$
$CD = = ⎝ ⎛ 31 - 2 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 11 - 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 201 ⎠ ⎞$

Selanjutnya akan dibuktikan $AB \cdot AD = 0$

$AB \cdot AD = = = = ⎝ ⎛ - 2 0 - 1 ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ 12 - 2 ⎠ ⎞ (- 2) \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 2) - 2 + 2 0$

selanjutnya akan dibuktikan $CB \cdot CD = 0$

$CB \cdot CD = = = = ⎝ ⎛ - 1 - 2 2 ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ 201 ⎠ ⎞ (- 1) \cdot 2 + (- 2) \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 2 + 2 0$

Karna terbukti $AB \cdot AD = 0$ dan $CB \cdot CD = 0$ maka terbukti $ABCD$ adalah persegi panjang.

Dengan demikian, terbukti $ABCD$ adalah persegi panjang.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Gambar OADC.BEFG adalah paralelpipedum yaitu padatan dengan enam sisi. Setiap sisi jajargenjang yang berseberangan kongruen. O adalah titik asal. A, B, dan C masing-masing memiliki vektor posisi ⎝ ⎛ ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A ( 1 , 3 ) , titik B ( 2 , 5 ) dan titik C ( − 1 , 4 ) . a. Tentukan vektor- vektor yang mewakili oleh ruas-ruas garis berarah AB , AC , BA , BC , CA ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 6 x i + 2 x j − 8 k , b = − 4 i + 8 j + 10 k , dan c = − 2 i + 3 j − 5 k . Jika a dan b tegak lurus, vektor ( a − c ) adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = i + 2 j − x k , b = 3 i − 2 j + k , dan c = 2 i + j + 2 k . Jika a tegak lurus c , maka ( c + b ) ⋅ ( a − c ) adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 6 x i + 2 x j − 8 k , b = − 4 i + 8 j + 10 k , dan c = − 2 i + 3 j − 5 k . Jika a dan b tegak lurus, vektor ( a − c ) adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi