Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi f ( x ) = − 3 2 ​ x 3 + 2 x + 3 2 ​ untuk − 1 ≤ x ≤ 2 .Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah − 2 f ′ ( 0 ) . Rasio deret geometri tersebut adalah ...

Pembahasan

Tentukan turunan fungsi f ( x ) . f ( x ) = − 3 2 ​ x 3 + 2 x + 3 2 ​ f ′ ( x ) = − 2 x 2 + 2 Jumlah deret geometri tak hingga sama dengan nilai maksimum fungsi, maka perlu dicari terlebih dahulu nilai maksimum f ( x ) . Nilai maksimum f ( x ) ditentukan dengan uji turunan pertamadan dicari titik stasionernya. Titik stasioner f ′ ( x ) = 0 , sehingga: f ′ ( x ) − 2 x 2 + 2 − 2 ( x 2 − 1 ) − 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 1 a t a u x = − 1 ​ Dengan memperhatikan hasil garis bilangan, dapat dilihat f ( x ) maksimum di x = 1 , sehingga nilai maksimum f ( x ) adalah: f ( x ) f ( 1 ) ​ = = = ​ − 3 2 ​ x 3 + 2 x + 3 2 ​ − 3 2 ​ ( 1 ) 3 + 2 ( 1 ) + 3 2 ​ 2 ​ Karena deret geometri tak hingga memiliki jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi f ( x ) , maka: S ∞ ​ 2 a ​ = = = ​ 1 − r a ​ 1 − r a ​ 2 ( 1 − r ) ​ Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah − 2 f ′ ( 0 ) , maka: U 2 ​ − U 1 ​ ar − a a ( r − 1 ) a ( r − 1 ) ​ = = = = ​ − 2 f ′ ( 0 ) − 2 ( − 2 ( 0 ) 2 + 2 ) − 2 ( 2 ) − 4 ​ Diperoleh dua persamaan a = 2 ( 1 − r ) dan a ( r − 1 ) = − 4 . Substitusikan a = 2 ( 1 − r ) ke a ( r − 1 ) = − 4 . a ( r − 1 ) 2 ( 1 − r ) ( r − 1 ) − 2 ( r − 1 ) 2 ( r − 1 ) 2 r − 1 r ​ = = = = = = ​ − 4 − 4 − 4 2 ± 2 ​ 1 ± 2 ​ ​ Karena deret geometri tak hingga, maka − 1 < r < 1 . Jadi, nilai r yang memenuhi adalah 1 − 2 ​ . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah A.