Pertanyaan

Diketahui 2 sin 2 t − 2 sin t = 1 − csc t dengan 0 < t < 2 π , t ≠ π . Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah ....

Diketahui $2 sin^{2} t - 2 sin t = 1 - csc t$ dengan 0 < t < 2π, t ≠ π. Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah ....

R. Rohmat

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan bahwa Karena 0 < t < 2 π , t ≠ π , maka sin t ≠ 0 . Sehingga Sehingga didapat atau . Untuk , maka Untuk dengan0 <t< 2πdipenuhi oleh atau . Untuk dengan 0 <t< 2πdipenuhi oleh atau . Selanjutnya untuk , maka Didapat . Sehingga terdapat 5 penyelesaian, yaitu . Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan bahwa

$begin mathsize 14px style 2 sin squared invisible function application t minus sign 2 sin invisible function application t equals 1 minus sign csc invisible function application t 2 sin squared invisible function application t minus sign 2 sin invisible function application t equals 1 minus sign fraction numerator 1 over denominator sin invisible function application t end fraction end style$

Karena 0 < t < 2π, t ≠ π, maka sin t ≠ 0. Sehingga

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 sin squared invisible function application t minus sign 2 sin invisible function application t end cell equals cell 1 minus sign fraction numerator 1 over denominator sin invisible function application t end fraction end cell row cell sin invisible function application t open parentheses 2 sin squared invisible function application t minus sign 2 sin invisible function application t close parentheses end cell equals cell sin invisible function application t open parentheses 1 minus sign fraction numerator 1 over denominator sin invisible function application t end fraction close parentheses end cell row cell sin invisible function application t open parentheses 2 sin squared invisible function application t minus sign 2 sin invisible function application t close parentheses minus sign sin invisible function application t open parentheses 1 minus sign fraction numerator 1 over denominator sin invisible function application t end fraction close parentheses end cell equals 0 row cell sin invisible function application t open parentheses 2 sin invisible function application t open parentheses sin invisible function application t minus sign 1 close parentheses close parentheses minus sign open parentheses sin invisible function application t minus sign 1 close parentheses end cell equals 0 row cell 2 sin squared invisible function application t open parentheses sin invisible function application t minus sign 1 close parentheses minus sign open parentheses sin invisible function application t minus sign 1 close parentheses end cell equals 0 row cell open parentheses 2 sin squared invisible function application t minus sign 1 close parentheses open parentheses sin invisible function application t minus sign 1 close parentheses end cell equals 0 end table end style$

Sehingga didapat atau .

Untuk , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 sin squared invisible function application t minus sign 1 end cell equals 0 row cell 2 sin squared invisible function application t end cell equals 1 row cell sin squared invisible function application t end cell equals cell 1 half end cell row cell sin invisible function application t end cell equals cell plus-or-minus square root of 1 half end root end cell row cell sin invisible function application t end cell equals cell plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction end cell row cell sin invisible function application t end cell equals cell plus-or-minus 1 half square root of 2 end cell end table end style$

Untuk dengan 0 < t < 2π dipenuhi oleh atau $begin mathsize 14px style t equals fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction end style$ .

Untuk dengan 0 < t < 2π dipenuhi oleh $begin mathsize 14px style t equals fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction end style$ atau $begin mathsize 14px style t equals fraction numerator 7 pi over denominator 4 end fraction end style$ .

Selanjutnya untuk , maka

Didapat .

Sehingga terdapat 5 penyelesaian, yaitu $begin mathsize 14px style t equals pi over 4 comma space t equals pi over 2 comma space t equals fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction comma space t equals fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction comma space t equals fraction numerator 7 pi over denominator 4 end fraction end style$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.